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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

No plano x O y considere a parábola P : y 2 + x - 4 y = 0 .

a) Determine o vértice e o foco de P .

b) Esboce P .

c) Escreva a equação da diretriz de P .

d) Escreve uma equação livre de parâmetros para a superfície no espaço obtida pela rotação da parábola

P :   y 2 + x - 4 y = 0 z = 0

Em torno do eixo O y .

Passo 1

a) Vamos completar os quadrados da equação de P :

y 2 - 4 y = - x

y 2 - 4 y + 4 = - x + 4

x - 4 = - ( y - 2 ) ²

Pela equação, vemos que o vértice é V = ( 4 ,   2 ) .

p vale 1 4 e portanto F = 4 - 1 4 ,   2 = 15 4 ,   2 (lembrando que como o quadrado está em y , a parábola está de lado, então seu foco em y é o mesmo que seu vértice).

Passo 2

b) Com base no que sabemos da geometria dessa parábola (que ela está de lado) e sabendo o vértice e foco, seu esboço será assim

Passo 3

c) A diretriz l será paralela ao eixo y e vai ser dada pelo vértice em x somado a p , ou seja:

l : x = 4 + 1 4  

l : x = 17 4

Passo 4

d) A superfície que estamos procurando é a união das circunferências que têm centro no eixo O y . Para que um ponto genérico X = ( x ,   y ,   z ) esteja em uma dessas circunferências, ela deve ter centro C = ( 0 ,   y ,   0 ) e conter o ponto Q = u ,   y ,   0 ∈ P , seja u o equivalente a x na equação de P dada no enunciado.

Isso só vai ocorrer se C X → = C Q → . Logo:

( x ,   0 ,   z ) = | ( u ,   0 ,   0 ) |

x 2 + z 2 = u ²

Sabendo que u equivale a x e isolando x na equação de P , temos que u = - y 2 + 4 y :

x 2 + z 2 = ( - y 2 + 4 y ) ²

x 2 + z 2 = 16 y 2 - 8 y 2 + y 4

Resposta

a) V = ( 4 ,   2 ) F = 15 4 ,   2

b)

c) l : x = 17 4

d) x 2 + z 2 = 16 y 2 - 8 y 2 + y 4

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