Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Obtenha uma equação cartesiana (livre de parâmetros) para a superfície de revolução Γ , obtida pela rotação da curva

γ :   y 2 4 + z - 6 2 16 = 1 x = 0

Em torno da reta l : X = 0 ,   0 ,   6 + λ ( 0 ,   1 ,   0 ) . Faça um esboço de Γ .

Passo 1

Para que exista um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertencente a Γ , deve existir um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) pertencente a γ tal que X e Q estejam em uma mesma circunferência com centro C ∈ l .

l é paralela ao eixo O y , então esses 3 pontos devem ter a mesma coordenada y , logo: C = ( 0 ,   y ,   6 ) , Q = ( 0 ,   y ,   w ) com y 2 4 + w - 6 2 16 = 1

Temos que

C X → = C Q →

x 2 + z - 6 2 = ( w - 6 ) ²

x 2 + z - 6 2 = 16 - 4 y ²

Então a equação do elipsoide é

x 2 16 + y 2 4 + z - 6 2 16 = 1

Resposta

x 2 16 + y 2 4 + z - 6 2 16 = 1

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