Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao vetor v → = ( 0 ,   0 ,   1 ) e cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 - y 2 + z 2 = 0 x + y + 2 z - 4 = 0

Passo 1

Bora, galera! Vamos chamar essa superfície cilíndrica de Ω . A gente pode dizer que um ponto P = ( x ,   y ,   z ) está nessa superfície se tivermos um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) pertencente a γ , de forma que o vetor que liga os pontos P e Q é paralelo ao vetor v → , já que temos as geratrizes paralelas!

P Q → = λ v →

u - x ,   v - y ,   w - z = λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Daqui vamos tirar que:

u = x v = y w = z + λ

Passo 2

A gente tem mais duas equações! O ponto Q pertence à curva γ , né? Então podemos substituir as coordenadas lá!

u + v + 2 w = 4 u 2 - v 2 + w 2 = 0

Substituindo aqui o que encontramos no passo 1 , vamos obter:

x + y + 2 z + λ = 4

2 λ = 4 - x - y - 2 z

λ = 2 - x 2 - y 2 - z

E λ = w - z :

w - z = 2 - x 2 - y 2 - z

w = 2 - x 2 - y 2

Substituindo na segunda equação:

u 2 - v 2 + w 2 = 0

Ω :   x 2 - y 2 + 2 - x 2 - y 2 2 = 0

Resposta

Ω :   x 2 - y 2 + 2 - x 2 - y 2 2 = 0

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