Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Obtenha uma equação cartesiana (livre de parâmetros) para a superfície cônica Ω , cujo vértice é V = ( 0 ,   0 ,   4 ) e cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4 z = 3

Faça um esboço de Ω .

Passo 1

Para que um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertença a Ω , deve existir um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) de γ tal que V Q → = λ V X → . Então temos

u = λ x v = λ y w - 4 = λ ( z - 4 ) u 2 + v 2 + w - 4 2 = 4 w = 3

Daí temos que λ = - 1 z - 4   ( z ≠ 4 ) e u 2 + v 2 = 3 .

Então, - x z - 4 2 + - y z - 4 2 = 3 .

Como o vértice não satisfaz essa equação, temos que incluí-lo multiplicado a equação por ( z - 4 ) ² . Isso nos dá

x 2 + y 2 - 3 z - 4 2 = 0

Resposta

x 2 + y 2 - 3 z - 4 2 = 0

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