Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução cujo eixo é a reta e cuja diretriz é a curva
Passo 1
a) Vamo lá, se a gente analisar a equação da curva , vemos que ela é uma hipérbole no plano e que seu eixo de rotação é seu eixo transverso. Looogo, a superfície é um hiperboloide de duas folhas.
Se é obtido de a partir de uma rotação anti-horária de e o eixo não se altera, então a equação da hipérbole no sistema vai ser
que gira em torno do eixo
A equação do hiperboloide de duas folhas, então, vai ser
Passo 2
Beleza, mas a gente quer essa equação em não é? Então vamos fazer uma rotação de no plano .
Então, substituindo isso na equação do passo 1:
Abrindo os quadrados:
Logo, a equação vai ser
Resposta
Exercícios Resolvidos de Superfícies
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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2
Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 2 x 2 + y 2 - 4 x y - 4 y z