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Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.

  1. x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Passo 1

Temos agora o problema inverso do que fizemos anteriormente. Agora, já temos a equação da nossa superfície e queremos descobrir a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.

Passo 2

a) x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Nesse tipo de problema, primeiro, precisamos escrever nossa equação no formato:

f x + λ m , y + λ n , z + λ p = 0  

x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Reescrevendo, temos:

( x + z ) 2 + ( y - z ) 2 - 1 = 0   ( 1 )

Fazendo o caminho inverso temos que:

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 →   f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Então:

x = x + z   ( 2 )

y = y - z     ( 3 )

z = 0

Ficamos com a expressão:

x 2 + y 2 - 1 = 0   ( 4 )

Podemos então igualar:

z + λ p = 0

z = - λ p

Das equação ( 2 ) e ( 3 ) acima, tiramos que:

x + z = x + λ m → z = λ m

y - z =   y + λ n → z = - λ n

Portanto:

m = - n = - p

Então, nosso vetor diretor das retas geratrizes são:

r → = ( m ,   - m ,   - m )

E a expressão ( 4 ) é a curva:

x 2 + y 2 = 1

Passo 3

Depois de todas essas manipulações, chegamos que:

C : x 2 + y 2 = 1 z = 0

r → = m ,   - m ,   - m

Como importa apenas a direção da reta r , podemos dizer que:

r → = 1 ,   - 1 ,   - 1

Resposta

C : x 2 + y 2 = 1 z = 0

r → = 1 ,   - 1 ,   - 1

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