Determine uma equação livre para a superfície cilíndrica Ω que tem como diretriz a curva Τ , interseção da superfície S : x 2 + y 2 = 1 com o plano π : x - z = 0 , e cujas geratrizes são perpendiculares ao plano π .

Passo 1

Vem comigo! Repara que pra um ponto P pertencer à superfície cilíndrica, tem que existir um ponto Q pertencente a curva Τ , de forma que o vetor que liga esses pontos é normal ao plano, já que as geratrizes são perpendiculares ao plano π . Daí:

P Q → = λ n →

O vetor n → normal ao plano é dado por:

n → = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Assim, se P = ( x , y , z ) e Q = ( u , v , w ) , a gente pode escrever a equação desse jeito aqui:

u - x ,   v - y ,   w - z = λ 1 ,   0 ,   - 1

u - x ,   v - y ,   w - z = ( λ , 0 , - λ )

O nosso sisteminha pras coordenadas fica assim então:

u = x + λ v = y w = z - λ

Passo 2

O ponto Q pertence à interseção da superfície S com o plano π , né? Então a gente pode dizer que as coordenadas atendem às equações de S e de π , sacou?

u 2 + v 2 = 1 u - w = 0

Aí a gente pega as informações que tínhamos do sistema do passo 1.

x + λ 2 + y 2 = 1 u = w → x + λ = z - λ

Da segunda equação:

λ = z - x 2

Passo 3

Agora é só a gente substituir o λ na primeira equação, pra poder eliminar e ficar só com as coordenadas do ponto P !

x + z - x 2 2 + y 2 = 1

x + z 2 2 + y 2 = 1

E aí a gente chega em:

x + z 2 4 + y 2 = 1

Que é a equação da superfície cilíndrica Ω !

Resposta

Ω :   x + z 2 4 + y 2 = 1

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