Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas à reta r : X = - 2 ,   1 ,   - 2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) e cuja diretriz é a curva γ :   2 x 2 - y = 0 z = 1 .

Passo 1

A superfície cilíndrica Γ vai ser a união das retas

X = Q + λ ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Onde Q = ( u ,   v ,   w ) representa os pontos pertencentes a γ , ou seja

2 u 2 - v = 0 w = 1

Para chegarmos numa equação de Γ livre de parâmetros, temos que eliminar todos os parâmetros desse sistema:

x = u + λ y = v - λ z = w - λ → λ = 1 - z w = 1 2 u 2 - v = 0

Daí temos que u = x - 1 + z e v = y + 1 - z .

Substituindo em 2 u 2 - v = 0 w = 1 temos que

Γ :   2 ( x - 1 + z   ) 2 - ( y + 1 - z ) = 0

Resposta

Γ :   2 ( x - 1 + z   ) 2 - ( y + 1 - z ) = 0

Exercícios Resolvidos de Superfícies

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