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Exercícios Resolvidos de Tubos Sonoros

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Enunciado

Escrever a Tag aqui (nome do capítulo IGUALZINHO), Outra tag, Mais uma tag

Uma corda de comprimento L esticada tem uma extremidade mantida fixa ( x = 0 ) e a outra livre ( x = l ) . Considere que, na configuração de equilíbrio, a corda se encontra na horizontal ao longo do eixo x . Um aluno escreve que os pequenos deslocamentos transversais na direção y podem ser representados pelos modos normais:

y n x , t = A n   s e n   n π 2 L x cos ⁡ n π 2 L v t + δ n

Onde n = 1, 3, 5, ... ,   A n e δ n   são constantes a serem determinadas das condições iniciais do problema e v é a velocidade de propagação da onda na corda. São feitas as seguintes observações sobre a solução apresentada:

  1. Ela está incorreta, pois não obedece a condição de contorno y L , t = 0 .
  2. Os modos pares com n = 2, 4, 6,... também deveriam ter sido levados em consideração.
  3. As condições de contorno para y neste problema são as mesmas que uma onda sonora de deslocamento deve obedecer em um tubo de comprimento L fechado em uma extremidade e aberto na outra.
  4. Esta solução não representa uma solução da equação de onda, pois não pode ser escrita na forma   y x , t = f x - v t + g ( x + v t ) , onde v é uma constante real e f ( u ) e g ( u ) são funções de uma variável.

São verdadeiras:

  1. Somente a (III).
  2. Todas são verdadeiras.
  3. Nenhuma é verdadeira.
  4. Somente (I) e (II).
  5. Somente (I) e (IV).
  6. Somente (III) e (IV).
  7. Somente (II) e (IV).
  8. Somente a (IV)

Passo 1

Vamos analisar uma por uma:

  1. Essa é falsa: O enunciado nos diz que uma extremidade é mantida fixa( x = 0 ) e outra livre x = L . Como em x = L a extremidade está livre, não podemos dizer que:

    2. y L , t = 0

    É uma condição de contorno.

  2. Não, como estamos lidando com uma corda que é fixa num ponto e livre no outro, podemos associar essa oscilação a uma oscilação de um tubo sonoro fechado em uma extremidade e aberto na outra:

    3. Assim, podemos calcular o comprimento total da corda através da relação:

    L = 2 n - 1 4 λ

    Ou simplesmente:

    L = i 4 λ

    Onde i é um número ímpar( i = 1,3 , 5,7 . . )

    Assim, só representamos os modos ímpares mesmo.

    Passo 2

  3. Como acabamos de ver, podemos associar essa oscilação à oscilação de um tubo desses. Nesse caso, as condições de contorno vão ser as mesmas.

    4. Afirmação Verdadeira.

  4. É claro que essa equação representa uma onda e, logo, é uma solução da equação de onda. Basta a gente perceber que a equação tem o formato da equação de uma onda estacionária.

Lembrando que uma onda estacionária pode ser escrita por:

y 1 x , t = A . sen ⁡ ( k x - ω t )

y 2 x , t = A . sen ⁡ ( k x + ω t )

y 1 x , t + y 2 x , t = y x , t = 2 . A . sen ⁡ k x . cos ⁡ ω t

Tanto y 1 quanto y 2 são soluções da equação de onda.

Resposta

a)

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