A figura abaixo mostra a leitura de um monitor de pressão montado em um ponto da trajetória de uma onda sonora de uma só frequência, propagando-se com uma velocidade de no ar, de massa específica homogênea . A escala do eixo vertical do gráfico representado na figura abaixo é definida por . Se, nas vizinhanças do monitor de pressão, a função deslocamento da onda é dada por .

a) Determine a amplitude de pressão, , o período e o número de onda.

b) Obtenha e escreva a função que descreve o deslocamento .

c) Coloca-se um tubo com apenas uma extremidade aberta no caminho da onda sonora. Calcule qual deve ser o menor comprimento do tubo para que a onda estacionária formada em seu interior entre em ressonância.

d) Faça o desenho da onda estacionária de pressão no tubo, na situação do item c, indicando as extremidades aberta e a fechada.

e) Suponha, agora, que o monitor de pressão se encontre a uma distância da fonte sonora isotrópica (emite igualmente em todas as direções). Observa-se que a amplitude da onda de pressão é duplicada ao aproximarmos o monitor de em direção à fonte. De quanto aumenta a intensidade da onda sonora? Calcule a distância .

Pela figura vemos que o primeiro máximo (a esquerda) acontece em e que o segundo máximo (a direita) acontece em . Como o período é a diferença de tempo entre dois máximos, temos

Temos que o número de onda é dado por

E para achar o comprimento de onda podemos usar a relação

Como temos o período e a velocidade do som é dada pelo enunciado .

Agora podemos calcular o número de onda

Temos que a função deslocamento da nossa onda é dada por

.

O número de onda já calculamos no passo anterior .

Já a frequência angular podemos achar usando o período

Agora falta achar a amplitude .

Para uma onda sonora, a variação de pressão se relaciona com a função deslocamento por

Onde é o modo de compressibilidade do ar (já já vamos lidar com ele).

Como .

Quando , temos que , assim

Para calcular , já temos o número de onda e a variação máxima de pressão . Agora só falta

O módulo de compressibilidade se relaciona com a densidade do ar e com a velocidade de propagação da onda nesse meio por

Como, pelo enunciado, e

Então finalmente podemos calcular a nossa amplitude !

E a nossa função deslocamento será

Tudo em unidades do SI.

Temos que em um tubo com apenas uma extremidade aberta, haverá um nó na extremidade fechada e um anti-nó na extremidade aberta, de forma que no primeiro harmônico caberá somente um quarto de comprimento de onda dento do tubo

O nosso desenho fica mais ou menos assim mostrando o nó na extremidade aberta e o anti-nó na extremidade fechada

Vamos calcular analiticamente a intensidade sonora quando estamos perto e longe e compará-las.

A intensidade sonora é dada pela razão entre a potência média da onda sonora dividida pela área que ela atua

Quando estamos a uma distância da fonte, medimos uma intensidade e a área em que a onda passa é a área de uma esfera de raio

Agora quando estamos a uma distância da fonte (quando nos aproximamos), medimos uma intensidade que será dada por

Podemos eliminar a potência média fazendo a razão entre as duas intensidades

Beleza, já temos uma expressão interessante que tem a distância . Agora só falta calcular essa razão entre as intensidades.

Para isso basta lembrar que a intensidade de uma onda sonora se relaciona com a sua amplitude por

E nessa relação quando nos aproximamos somente a amplitude da onda se modificará! Ou seja, a razão entre as duas intensidades será a razão entre os quadrados das amplitudes das ondas

Como

Finalmente pelo enunciado sabemos que quando nos aproximamos a amplitude da pressão duplica, ou seja

Assim

Daqui vemos que a intensidade aumentou 4 vezes.

Então finalmente (ufa!) podemos calcular