Dê as respostas em notação científica, no sistema internacional de unidades considerando rigorosamente o conceito de algarismos significativos.
Dois blocos de massa e separados por uma distância se movem no sentido do eixo positivo com e e vão sofrer uma colisão perfeitamente inelástica. Considere que no instante inicial o bloco de massa se encontre na origem do sistema de coordenadas na posição . Trate os blocos como massas pontuais.
a) Determine que é a equação que governa o movimento do centro de massa do sistema em função do tempo.
b) Determine o vetor velocidade final dos blocos após a colisão.
Passo 1
Na letra (a), queremos a posição do centro de massa do sistema em função do tempo .
Nós temos as posições iniciais dos blocos e suas velocidades...
Com, isso conseguimos escrever a posição deles em função do tempo.
Então, primeiro, vamos escrever a posição dos dois blocos em função do tempo e , para depois calcular a posição do centro de massa em função do tempo entre eles .
Passo 2
Como eles têm uma velocidade constante, a posição pode ser escrita como:
Onde é a posição inicial e a velocidade.
O bloco está inicialmente na origem:
Agora, vamos pensar...
Os dois blocos andam no mesmo sentido ( positivo), para eles colidirem, o bloco com maior velocidade (bloco 1) está atrás do bloco com menor velocidade (bloco 2).
Como a distância entre eles é , a posição inicial do bloco 1 é:
Agora, já podemos escrever a posição deles em função do tempo:
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
A posição do centro de massa será:
Sobre os algarismos significativos... vamos fazer a conta com os números exatos e depois contabilizar quantos algarismos significativos deve ter a resposta.
Passo 4
Todos os nossos dados iniciais têm algarismos significativos, então, após realizar as multiplicações, somas e divisões, nosso resultado deve ter algarismos significativos.
Então, temos:
Arredondando para algarismos significativos, teremos:
A outra divisão resulta em:
Arredondando para 3 algarismos significativos, temos:
Assim, nossa resposta da letra (a) é:
Passo 5
Na letra (b), queremos a velocidade final dos blocos na forma de vetor .
Como estamos trabalhando apenas ao longo do eixo , já sabemos que a direção do vetor será:
E o módulo e sentido da velocidade?
Como a colisão é livre da ação de forças externas (força externa resultante nula), o momento linear do sistema se conserva:
Além disso, os blocos saem da colisão juntos (colisão perfeitamente inelástica), então:
Passo 6
Substituindo os valores, consegueríamos .
Mas tem uma maneira ainda mais fácil de descobrir ...
Lembra que no item (a) achamos a expressão da posição do centro de massa em função do tempo?
Como a velocidade é constante, podemos comparar com uma equação da posição em função do tempo para um movimento uniforma:
O termo que multiplica o tempo é a velocidade, então, já temos de cara o valor da velocidade do centro de massa:
OBS: A não se altera na colisão, pois o momento linear se conserva.
Como os blocos (sistema) estão juntos, a velocidade deles é a própria velocidade do centro de massa:
Assim, o vetor velocidade final dos blocos é:
Resposta
(a)
(b)