Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Ver TeoriaEnunciado
Solução de PVI para EDO por Laplace, Delta de Dirac, Transformada de Laplace
Consideramos uma mola elástica fixada por uma de suas extremidades e que possa vibrar na vertical. Suponhamos que um corpo de massa quilograma esteja preso à extremidade inferior da mola, que a constante elástica da mola seja e que no instante o sistema esteja submetido a uma força periódica . No instante , o sistema massa-mola recebe por baixo um golpe brusco que comunida instantaneamente unidades de momento ao sistema. Usando a segunda lei de Newton e o eixo convenientemente posicionado, somos levados à seguinte equação do movimento
Supondo as condições iniciais , determine o movimento do sistema.
Passo 1
Vamos reescrever essa EDO dessa forma aqui:
Agora vamos aplicar Laplace a essa equação, ok?
Sabemos, pela tabela, que
Então, temos:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:
Substituindo na equação, temos:
Passo 2
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar
Como , temos:
Agora, vamos isolar o valor de
Vamos separar essa função em duas partes para ficar melhor de entender
Assim
Com cada transformada sendo
Passo 3
Para resolver isso, temos que fazer o Laplace de cada parcela dessa soma.
Começando com
Vamos decompor essa fração a em frações parciais.
- Fatorar o denominador
- Igualar a fração à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Veja:
- Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
- Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais.
- Agora que já temos os coeficientes basta reescrever as frações que criamos.
Como não temos como fatorar os termos e , pois eles são irredutíveis, não tem jeito! Nossas frações parciais terão esses mesmos termos no denominador.
O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em , o numerador dessa fração deve ser (grau 1). O mesmo ocorre para a outra fração!
Vamos juntar os termos pelos graus de .
Como o denominador já é o mesmo, temos
Calma, essa expressão é enorme mesmo, vamos por partes! Vamos igualar cada coeficiente das potências de na esquerda e na direita. Como assim? Olha só:
Passo
Vamos resolver esse sisteminha
Temos
Passo
Passo 4
Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Calma, já está acabando!
Vamos colocar em evidência o coeficiente do numerador.
Bom, como temos no denominador, já pensamos logo em senos e cossenos. Temos o seguinte:
Então, temos o seguinte:
Assim, vamos ter
Juntando isso tudo
Isso nos diz que
Passo 5
Vamos para
Sobrou só essa exponencial, não é? Vamos usar a seguinte fórmula:
Comparando, vamos ver que
Aplicando ao problema, vamos ter:
Além disso,
Temos que achar aquela agora
Passo 6
Temos
Isso nos diz que
Lembrando que
Vamos ter
Isso nos diz que
Passo 7
Ufa, achamos a , mas e agora? Vamos jogar na fórmula
Então
Como
Logo:
Assim
Passo 8
Agora, vamos ter
Pronto, agora podemos dizer que é exatamente