Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Ok, podemos melhorar a cara do problema. Escrevemos como:
Em que:
Agora ficou um pouco melhor. Como temos uma função definida em partes, podemos representa-la por meio de funções degrau.
Veja que a função vale até , onde passa a valer zero. Então temos um degrau multiplicado pela função a subtraindo aí
Como vamos usar transformada, é melhor escrever isso na forma:
Para ficar bonitinho na hora de aplicar a transformada. Para isso:
OK. Tá melhor. Assim, vamos ter:
Passo 2
E podemos agora aplicar a transformada. Aplicando e usando as propriedades:
Vamos olhar transformada por transformada. Primeiro, para ficar bonitinho, chamamos:
Show, agora, pela transformada das derivadas:
Aplicando as condições:
Show. Agora, por tabela:
Assim, para :
Além disso, pela a transformada do degrau:
Então, substituímos tudo na equação:
Passo 3
OK, vamos agora isolar :
Agora precisamos escrever de um jeito mais simples para encontrar a transformada inversa que dará a solução do problema. Para isso, vamos tentar separar essas frações usando frações parciais. Começamos com:
Juntando novamente:
Juntamos os termos de mesmo grau:
O único jeito da igualdade ser verdadeira é se os coeficientes nos numeradores forem iguais. Para isso, montamos o sistema comparando cada um:
Pela última:
Substituindo na primeira:
Assim, vamos ter:
E de cara vai aparecer:
Show! Agora substituímos na nossa equação:
Passo 4
Com a transformada numa forma mais palatável, vamos achar as inversas. Aplicando:
Temos, por tabela que:
Então, para :
Seguindo a mesma lógica, vamos ter:
Para a exponencial, teremos a função que sai da transformada deslocada e multiplicada por um degrau:
Assim:
Substituindo isso na equação:
E é essa violência aí mesmo haha.