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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Função Degrau

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g ( t ) y 0 = 2 ,     y ' 0 = 1

Onde g : 0 , + ∞ → R a função

g t = t ,       s e   0 ≤ t < 1 1 ,       s e   t ≥ 1                

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a função g ( t ) : ela vale t entre 0 e 1 e, depois, se torna constante e igual a 1 :

g t = t - t - 1 u 1 t

Passo 2

Ótimo, agora temos que aplicar a transformada de Laplace em todo mundo.

Mas não se esqueça das condições iniciais...

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' ' = s 2 Y s - 2 s - 1

E nossa equação fica:

L y ' ' + 4 y = L g ( t )

L y ' ' + L 4 y = L g ( t )

[ s 2 Y s - 2 s - 1 ] + 4 Y ( s ) = G ( s )

Passo 3

E agora, quem é G ( s ) ? Vamos calcular!

L t = 1 s 2

L t - 1 u 1 ( t ) = 1 s 2 e - s

Logo:

G s = 1 - e - s s 2

Assim:

[ s 2 Y s - 2 s - 1 ] + 4 Y ( s ) = 1 - e - s s 2

s 2 + 4 Y s = 1 - e - s s 2 + 2 s + 1

Y s = 1 - e - s s 2 s 2 + 4 + 2 s s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

Passo 4

Agora, por último, temos que inverter os termos pela Transformada de Laplace para encontrar y ( t ) . Primeiro, vejamos que

1 s 2 ( s 2 + 4 ) = 1 / 4 s 2 - 1 / 4 s 2 + 4 = L t 4 - sen ⁡ 2 t 8

Então, a exponencial e - s introduz atraso de uma unidade:

e - s s 2 ( s 2 + 4 ) = L t - 1 4 - sen ⁡ 2 t - 1 8 u 1 ( t )

Além disso, sabemos que:

2 s s 2 + 4 = L [ 2 cos ⁡ ( 2 t ) ]

1 s 2 + 4 = L 1 2 sen ⁡ 2 t

Portanto, ao combinar tudo, temos:

y t = L - 1 1 - e - s s 2 s 2 + 4 + 2 s s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

y t = t 4 - sen ⁡ 2 t 8 - t - 1 4 - sen ⁡ 2 t - 1 8 u 1 t + 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 sen ⁡ 2 t

Resposta

y t = t 4 - sen ⁡ 2 t 8 - t - 1 4 - sen ⁡ 2 t - 1 8 u 1 t + 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 sen ⁡ 2 t

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