Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 185, exercício 8 adaptado
Encontre a solução do problema de valor inicial dado
Passo 1
Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:
Precisamos lembrar da transformada do Delta de Dirac
Temos o seguinte:
Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:
Aplicando mais uma propriedade da Transformada de Laplace:
Substituindo na equação, temos:
Passo 2
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar . Temos e .
Vamos fazer a transformada de cada uma dessas parcelas
Onde
Passo 3
Vamos começar fazendo a transformada inversa de
Vamos começar fatorando o denominador. Repara que ele e um trinômio quadrado perfeito, então teremos:
Podemos reescrever o numerador da seguinte forma
Fazemos isso para simplificar a nossa conta na transformada de Laplace
Para cada uma dessas transformadas vamos precisar usar a seguinte transformada da nossa tabela
Isso porque temos duas potências na nossa transformada de Laplace, uma com e outra com , assim vamos usar
E
Repara que em vez de temos no denominador, para resolvermos esse problema precisamos usar
Como temos , devemos ter
Assim, a nossa transformada fica
E a nossa função será
Passo 4
Agora vamos para a transformada de
Fatorando o denominador igual fizemos no passo anterior, vamos ter:
Temos, como vimos no passo anterior:
Portanto
Certo, agora como temos uma exponencial “fora” de , vamos aplicar a seguinte fórmula:
Para o nosso problema:
Agora precisamos encontrar . Temos:
Ou seja:
Substituindo na expressão de , temos:
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Voltando para nossa transformada de Laplace de
Achamos e nos passos anteriores, então
Finalmente achamos o valor de