Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
onde é a “função” delta de Dirac com singularidade em 1.
Passo 1
Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:
- Transformada de a gente define como
- Transformada de
Usando as condições iniciais
- Transformada de
Usando as condições iniciais
- Transformada de
Temo que usar
Assim
- Transformada de
Nossa EDO vai ficar então com essa cara:
Isolando o
Passo 2
Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:
Antes saca isso aqui: . Vamos arrumar melhor as expressões para ficarem mais simpáticas
Temos, então, três termos na nossa transformada
Passo 3
Na transformada do primeiro termo a gente tem que fazer essa jogada aqui
Pra poder usar a transformada do seno
Sendo que ela tá transladada
Passo 4
Vamos olhar a transformada do segundo termo.
Separando a constante e fazendo o mesmo macete de multiplicar e dividir por
Essa última transformada é igual ao do passo anterior só que o resultado é multiplicado pela função degrau .
Passo 5
A transformada inversa do terceiro termo é
Temos que fazer aquela decomposição marota em frações parciais:
E a gente cai no seguinte sistema
O resultado pra essas constantes é
Assim a nossa transformada fica essas três aqui
A primeira é molezinha
Na segunda a gente tem que somar e subtrair pra conseguir a transformada do cosseno e de graça a gente ganha uma transformada de seno
Lembrando que na transformada do seno tem aquele pulo do gato de multiplica e dividir por
E a terceira
Finalmente
Passo 6
Agora é só juntar tudo!
Só dando uma simplificadinha pra essa resposta ocupar menos linhas rsrsrs 😉