Questão 2:

Encontre a solução geral da seguinte equação para :

Na dependência com o tempo . Dica Opcional: Use o princípio de superposição e a transformação de Laplace.

SHOW! Mas e agora? Bem agora o que a gente vai fazer é aplicar a Laplace Inversa dos dois lados para determinar que é a solução da equação diferencial :

Logo, como a Laplace inversa de é igual a :

O que vamos fazer então nos próximos passos é determinar a Laplace Inversa de cada uma dessas expressões e substituir aí! Vamos nessa?

AHHH! Mas antes, como em todas elas estamos trabalhando com essa expressão , seria interessante escrevermos essa expressão em forma de quadrados:

Pra isso ser verdade:

Logo:

Ou seja:

E a nossa expressão se escreve dessa forma aqui:

Vamos começar buscando essa primeira Laplace inversa aqui:

Nesse caso, é interessante pensarmos em frações parciais para resolvê-la. Como nesse produto de baixo, temos expressões quadráticas, termos expressões de primeiro grau no nominador:

Pow! É fácil de verificar que:

Afinal de contas apenas multiplicamos e dividimos pelo termo que faltava. O bom disso é que ganhamos o mesmo denominador e agora podemos juntar em uma única fração:

Realizando o produto dentro desses colchetes no nominador:

E como...

Então...

Multiplicando mais um pouco para eliminar agora esses parênteses de cima aí:

Bem, agora podemos juntar os termos semelhantes:

Como pelas frações parciais essas duas expressões aqui devem ser a mesma coisa:

Então isso aqui tem que acontecer:

Mas para isso acontecer, temos que ter as seguintes igualdades de coeficientes:

Onde a gente tira da primeira equação que:

Enquanto da última:

Como não mechemos nas equações do meio, vamos substituir e simplificar nelas:

Multiplicando a equações de cima por :

E somando uma na outra de forma que o lado direito some com o direito, enquanto que o esquerdo com o esquerdo:

Para obter o , basta substituir aqui:

Enquanto que e são:

Show de bolinhas! Então por frações parciais o que obtemos é essa igualdade aqui:

Simplificando um pouquinho separando essas frações:

Veja então que a primeira expressão, basicamente já a identificamos como sendo o cosseno. Porém a segunda, precisamos de um ali no nominador para a expressão quando voltarmos para virar um seno:

Repare que nesse terceiro termo, eu somei e subtraí (isso acontece justamente para ganharmos o no nominador também. Agora isolando isso aí em diferentes frações:

Podemos juntar esses dois últimos termos em um só:

E agora veja que precisamos ter um no nominador para a transformada ser direta . Mas para colocar esse no nominador, temos que o tirar no denominador e é isso que vamos fazer aqui:

Mas a pergunta que não quer calar é: Por que fizemos isso tudo? Pois agora, podemos aplicar a Laplace inversa em cada uma dessas frações de uma forma super direta :

Essas duas primeiras Laplaces inversas aí são seno e cosseno de :

Já essas duas últimas aí, serão e cosseno e seno também de , mas a diferença é que agora temos que multiplicar por uma exponencial de devido a esse aí:

UFA! Que passo enorme! Os demais serão menores, prometo !

Beleza, foca no que queremos aqui:

Encontramos apenas a primeira expressão, mas ainda faltam as três últimas. Vamos aqui calcular a segunda:

Pow, multiplicando por e dividindo por ao mesmo tempo para termos esse aí no nominador (para surgir o seno de ), saca?:

Pw, sabemos que:

E além disso, toda vez que temos uma exponencial dentro da Laplace inversa, isso significa que devemos aplicar essa fórmula aqui:

Onde no nosso caso e é essa expressão aqui: .

Foca novamente no que queremos:

Já calculamos as duas primeiras, agora calculemos essa terceira:

Temos que ter no nominador, para isso, fazemos o seguinte: primeiro, separamos esse aí em :

Segundo, separemos em duas frações diferentes:

Agora pelo mesmo motivo que colocamos o e retiramos no passo anterior, devemos fazer aqui também:

Finalmente, ambas gerarão cosseno e seno de , mas com uma exponencial de do lado:

Agora temos que calcular a última expressão:

Foca novamente no que queremos:

Substituindo então todas essas expressões aí:

Simplificando um pouquinho multiplicando esses termos aí: