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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sen ⁡ t + δ t - π 2 y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Para resolvermos essa EDO vamos utilizar a transformada de Laplace. Antes de começarmos, vamos lembrar das transformadas das derivadas. Seja L y ( t ) = Y ( s ) .

L y ' = s Y - y ( 0 )

L y ' ' = s 2 Y - s y 0 - y ' ( 0 )

Pra facilitar a vida vamos usar logo as condições iniciais!

L y ' = s Y - 1

L y ' ' = s 2 Y - s

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação.

s 2 Y - s + 2 s Y - 1 + 2 Y = L sen ⁡ t + L δ t - π 2

s 2 Y - s + 2 s Y - 2 + 2 Y = L s e n t + L δ t - π 2

Y s 2 + 2 s + 2 - s - 2 = L sen ⁡ t + L δ t - π 2

Temos que calcular a transformada das funções do lado direito da equação agora. Fica de olho por que pode tá no seu formulário.

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

L δ t - π 2 = e - π 2 s

Assim a nossa equação fica.

Y s 2 + 2 s + 2 - s - 2 = 1 s 2 + 1 + e - π 2 s

Y s 2 + 2 s + 2 = s + 2 + 1 s 2 + 1 + e - π 2 s

Y = s + 2 s 2 + 2 s + 2 + 1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 + e - π 2 s s 2 + 2 s + 2  

Passo 3

Vamos calcular as transformadas inversas de cada uma dessas equações.

L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 2 = L - 1 s + 1 + 1 s 2 + 2 s + 1 + 1

L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 2 = L - 1 s + 1 + 1 s + 1 2 + 1 = L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + L - 1 1 s + 1 2 + 1

Agora já ta com uma cara que nós sabemos resolver né? Essas equações são transformadas inversas de cosseno e seno deslocadas.

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t

L - 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t sen ⁡ t

Como queremos a soma desses dois caras

L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 2 = L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + L - 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t sen ⁡ t + e - t cos ⁡ t

L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 2 = e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 4

Vamos calcular a transformada inversa da função multiplicada por e - π 2 s . Vamos lembrar que nesses casos nós temos a seguinte formula.

L u c ( t ) f t - c s = e - c s L f t ( s )

A ideia vai ser deixar pra lá o exponencial por agora e depois usar ele nessa formula. Assim queremos encontrar a seguinte transformada inversa.

L - 1 1 s 2 + 2 s + 2 = L - 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t sen ⁡ t

Assim teremos.

L - 1 e - π 2 s s 2 + 2 s + 2 = u π 2 t e - t - π 2 sen ⁡ t - π 2

Passo 5

Vamos calcular a transformada inversa que ta faltando. Pra ela vamos ter que usar frações parciais.

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 2 s + 2

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = A s + B s 2 + 2 s + 2 + C s + D s 2 + 1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = s 3 A + C + s 2 2 A + B + D + s 2 A + 2 B + C + 2 B + D s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2

Logo teremos.

A + C = 0

2 A + B + D = 0

2 A + 2 B + C = 0

2 B + D = 1

Resolvendo o sistema obtemos.

A = - 2 5 ,     B = 1 5 ,     C = 2 5 ,     D = 3 5

A nossa fração ficará.

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 5 - 2 s + 1 s 2 + 1 + 2 s + 3 s 2 + 2 s + 2

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 5 - 2 s + 1 s 2 + 1 + 2 s + 3 s + 1 2 + 1

Agora vamos manipular um pouco essa equação para calcularmos a transformada inversa sem dificuldade.

1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 5 - 2 s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 + 2 s + 1 s + 1 2 + 1 + 1 s + 1 2 + 1

L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 5 - 2 L - 1 s s 2 + 1 + L - 1 1 s 2 + 1 + 2 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + L - 1 1 s + 1 2 + 1

Cada um desses caras será

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ t

L - 1 1 s 2 + 1 = s e n t

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t c o s ⁡ ( t )

L - 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t s e n ( t )

Juntando tudo:

L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 5 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + e - t ( 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t )

Passo 6

Assim a nossa solução será

y t = L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 2   + L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 2 s + 2 + L - 1 e - π 2 s s 2 + 2 s + 2

y t = e - t sen ⁡ t + cos ⁡ t + 1 5 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + e - t ( 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t ) + u π 2 t e - t - π 2 sen ⁡ t - π 2

y t = e - t 5 7 cos ⁡ t + 6 sen ⁡ t + 1 5 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + u π 2 t e - t - π 2 sen ⁡ t - π 2

Resposta

y t = e - t 5 7 cos ⁡ t + 6 sen ⁡ t + 1 5 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + u π 2 t e - t - π 2 sen ⁡ t - π 2

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