Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Calculo 3 – UNICAMP – Exame
Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma questão de PVI para ser resolvida através da Transformada de Laplace. E, para nossa alegria, a própria prova já nos fornece uma tabela com as transformadas!!!
Podem comemorar, que lembrar dessa tabela é a pior parte da questão!! Uhuu.
Agora, vamos começar aplicando a transformada de laplaca nos dois membros da nossa EDO. Portanto,
E como a transformada é uma aplicação linear, a gente pode separa o termo em . Da mesma forma, podemos escrever tirar o número 10 do segundo membro de dentro da transformada. E com isto, temos:
E essa é a primeira parte da questão!
Passo 2
Agora é o momento de usarmos a tabela. Lembrando, temos que indicar todas as relações que utilizarmos com a numeração da tabela (a questão pediu, a gente faz!).
Então, primeiramente, vamos lembrar que . Portanto, utilizando a propriedade 18, temos:
Agora, para , basta lembrarmos que . Portanto, pela propriedade 15, temos:
Por fim só nos resta transformarmos o segundo membro. Portanto, pela propriedade 17, temos:
E assim, chegamos a seguinte equação:
E como e , temos:
Passo 3
Estamos quase finalizando a nossa questão! Para isto, temos que fazer um processo bem semelhante com o que fizemos no Passo 2.
Vamos começar aplicando a transformada inversa e separando os termos. Logo,
Agora, temos que calcular cada um deles a partir da tabela de transformadas (só que agora a gente vai observar no sentido inverso, de para ).
Sendo assim, vamos começar pelo mais fácil, por . Pela propriedade 15, temos:
Já no segundo membro, vamos ver da direita para esquerda, pois é a ordem mais fácil. Para , basta aplicarmos a propriedade 5, quando . Com isto, teremos:
Agora, para , vamos utilizar a propriedade 6. Ao invés de seno, teremos cosseno agora! Portanto,
Por fim, temos . Aqui é um pouco mais complicado, pois precisamos trabalhar com uma função degrau. Para funções deste tipo (propriedade 13), temos:
Vamos comparar a nossa função que queremos a transformada inversa com o segundo membro da equação acima. Temos:
Comparando, temos , logo, e .
Para , pela propriedade 5, temos . Desta forma, a função que aplicamos a transformada inversa será:
E então,
E a solução do nosso PVI será: