Resolva* por transformada de Laplace o seguinte P.V.I.:

*Fórmula que pode ser útil:

Agora vamos olhar para o lado direito, que é um pouco mais complicado:

E temos que lembrar da fórmula para a transformada de Laplace da função Delta de Dirac:

Ou seja, no nosso caso:

E da fórmula para a transformada da função degrau:

Ou seja:

Beleza, agora nossa equação foi totalmente transformada:

O próximo passo é tentar isolar , pra depois tentarmos tirar a transformada inversa.

Tá, agora vamos separar isso em três frações diferentes:

Bom, agora talvez aquelas fórmulas comecem a ser úteis.

Vamos usar aquela fórmula pra calcular a transformada de , ou seja:

Ou seja, a transformada é só o caso daquela fórmula. Beleza, vamos aproveitar a fórmula então:

Começamos calculando o limite no infinito:

O limite vai pra zero porque aquela exponencial ali vai ficar muito pequena quando o ficar muito grande.

E agora no zero é só substituir:

Então:

Tá, isso é bem parecido com algumas funções que a gente tem na nossa expressão para .

Voltando na expressão lá de cima:

E vamos reescrever esse denominador para ficar com um formato parecido com o da fórmula:

Ok.

Vamos começar com essas duas primeira frações aí. Nas duas, aparece uma exponencial da forma . De cara você tem que lembrar dessa relação aqui:

Pra aplicar isso na primeira fração, por exemplo, vamos começar achando a transformada inversa sem considerar a exponencial:

Pela fórmula lá de cima:

Dá pra ver que a transformada inversa de é exatamente isso.

Nesse caso com e , e uma constante que a gente pode adicionar depois:

Mas o que a gente quer calcular mesmo é essa transformada inversa aqui:

Que é a mesma que acabamos de fazer, mas com um no meio.

Ou seja:

Um pouco confuso, né? Aguenta firme que ainda tem mais uma fração quase igual a essa.

Agora a gente quer fazer a transformada inversa dessa fração aqui:

Mais uma vez, vamos começar procurando a transformada inversa sem a exponencial:

Aqui não tem jeito, vamos ter que tirar frações parciais:

Mulitplicando tudo por :

E comparando os dois lados, dá escrever um sistema (que a gente vai resolver de baixo pra cima):

Então:

Reorganizando um pouco:

Ainda dá pra simplificar mais um pouco. Vamos somar e subtrair no numerador da segunda fração:

Ou seja:

Tá, já simplificamos bastante a expressão, de repente agora a gente já consegue tirar a transformada inversa.

A primeira fração é a mais fácil, porque é a transformada da função degrau:

A segunda e a terceira são transformadas de funções “deslocadas”. Pra esse tipo de problema, a gente tem que usar essa fórmula aqui:

Então:

E:

Então a transformada inversa daquela função é:

Finalmente! Mas lembra que nosso objetivo mesmo é resolver a transfomada inversa disso aqui:

Ou seja, é a transformada da função que a gente já inverteu multiplicada por uma exponencial. Temos que usar essa fórmula aqui:

Nesse caso a gente tem , então:

Tá, agora só falta mais uma. Não desista!

Só pra relembrar, esse esforço todo é pra tirar a transformada inversa dessa função aqui:

Já vimos que a da primeira função é:

E a da segunda é:

Por sorte a terceira é bem mais fácil de inverter. Dá uma olhada na fórmula da transformada do cosseno:

E a terceira fração é:

Que é simplesmente a transformada do cosseno deslocada por . Então vamos usar essa fórmula aqui:

Então (finalmente) a transformada inversa da nossa função é:

E como

Essa é a solução do nosso P.V.I.! Deu muito trabalho, mas conseguimos!