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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Encontre a solução da EDO y ' ' - y = 3 u 1 t - u 2 t   ; y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos lembrar disso aqui:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Substituindo as condições iniciais:

L y ' ' s = s 2 L y - s

Transformada de Laplace de funções degrau:

L u 1 t = e - s s

L u 2 t = e - 2 s s

Agora sim, vamos aplicar a transformada de Laplace na EDO:

L y ' ' - y = L 3 u 1 t - u 2 t

L y ' ' - L y = 3 L u 1 t - 3 L [ u 2 t ]

Substituindo as transformadas:

s 2 L y - s - L y = 3 e - s s - 3 e - 2 s s

Colocando a transformada em evidência:

L y s 2 - 1 = s + 3 e - s s - 3 e - 2 s s

L y = s s 2 - 1 + 3 e - s - e - 2 s s ( s 2 - 1 )

Passo 2

Vamos aplicar frações parciais em cada termo:

s s 2 - 1 = s s - 1 s + 1 = A s - 1 + B s + 1 = A s + A + B s - B s - 1 s + 1 = A + B s + A - B ( s - 1 ) ( s + 1 )

Igualando os termos:

A + B = 1 A - B = 0 → A = B

Jogando o resultado encontrado na equação 2 na 1:

2 A = 1 → A = 1 2 = B

Então:

s s 2 - 1 = 1 2 1 s - 1 + 1 2 1 s + 1

Agora o outro termo:

1 s ( s 2 - 1 ) = A s + B s + 1 + C s - 1 = A s 2 - A + B s 2 - B s + C s 2 + C s s s 2 - 1 = ( A + B + C ) s 2 ( C - B ) s - A s s 2 - 1

Igualando os termos:

A + B + C = 0 C - B = 0 - A = 1 → A = - 1  

Da segunda equação:

C = B

Jogando tudo na primeira:

- 1 + B + B = 0 → B = 1 2 = C

Então ficou assim:

1 s ( s 2 - 1 ) = - 1 s + 1 2 1 s + 1 + 1 2 1 s - 1

Ae você pergunta, “po, por que você não colocou a exponencial no numerador?” Isso foi só opção minha, porque achei que colocando a exponencial iria dificultar a resolução desse sistema, pode colocar ele sem problemas, no final vai dar no mesmo! Vamos voltar para a EDO transformada:

L y = s s 2 - 1 + 3 e - s - e - 2 s s ( s 2 - 1 )

Vou escrever assim pra ficar mais fácil de ver o que vamos fazer:

L y = s s 2 - 1 + 3 ( e - s - e - 2 s ) 1 s ( s 2 - 1 )

Substituindo as frações parciais que encontramos:

L y = 1 2 1 s - 1 + 1 2 1 s + 1 + 3 e - s - e - 2 s - 1 s + 1 2 1 s + 1 + 1 2 1 s - 1

Aplicando a transformada inversa em cada termo:

L - 1 1 2 1 s - 1 = 1 2 e t

L - 1 1 2 1 s + 1 = 1 2 e - t

Repare aqui que poderíamos ter feito direto:

L - 1 s s 2 - 1 = cosh ⁡ t

Mas saber fazer pelo método de frações parciais é bem útil caso você tenha um branco na hora.

L - 1 3 - e - s + e - 2 s s = - 3 L - 1 e - s s + 3 L - 1 e - 2 s s = - 3 u 1 t + 3 u 2 t

L - 1 3 2 e - s - e - 2 s s + 1 = 3 2 L - 1 e - s s + 1 - 3 2 L - 1 e - 2 s s + 1 = 3 2 e - t - 1 u 1 ( t ) - 3 2 e - t - 2 u 2 ( t )

L - 1 3 2 e - s - e - 2 s s - 1 = 3 2 L - 1 e - s s - 1 - 3 2 L - 1 e - 2 s s - 1 = 3 2 e t - 1 u 1 ( t ) - 3 2 e t - 2 u 2 ( t )

Se você não entendeu as duas últimas inversas, tenta fazer a transformada delas usando o final da teoria desse capítulo, que você vai ver que é isso mesmo!

Assim, o resultado é:

y = 1 2 e t + 1 2 e - t - 3 u 1 t + 3 u 2 t + 3 2 e - t - 1 u 1 t - 3 2 e - t - 2 u 2 t + 3 2 e t - 1 u 1 ( t ) - 3 2 e t - 2 u 2 ( t

Da pra arrumar esse paranauê para deixar ele mais bonitinho(Ou quase):

y t = 1 2 e t + e - t + 3 u 1 t - 2 + e - t + 1 + e t - 1 + 3 u 2 t 2 - e - t + 2 - e t - 2

Resposta

y t = 1 2 e t + e - t + 3 u 1 t - 2 + e - t + 1 + e t - 1 + 3 u 2 t 2 - e - t + 2 - e t - 2

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