Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Integral de Convolução
Seja (a transformada de Laplace da função ) onde
Mostre que
(Não precisa calcular essa derivada. Note que .
Calcule a solução do PVI
Em termos de uma convolução, onde é a função definida no item .
Sugestão: não calcule . Faça as contas escrevendo .
Passo 1
Vamos começar pela seguinte propriedade:
Então se aplicarmos ela duas vezes, temos:
E cinco vezes:
Passo 2
E agora? Bom, agora vamos olhar pro ...
A função começa em (antes disso, é tudo zero). Mas e começa a crescer imediatamente após .
Podemos escrever assim: . Mas olhe que o cosseno dá pra ser escrito como (olha a dica!). Então, temos:
Passo 3
Bom, se a transformada de Laplace do cosseno é
Lembre-se que
Então, aplicando a propriedade acima(atenção para o sinal de menos!), temos
Passo 4
Combinando com o resultado do passo 1:
Passo 5
Bom, vamos seguir a sugestão e aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial.
Por linearidade:
Passo 6
Lembre-se que se , então
Como é uma condição inicial, nos resta .
Passo 7
De volta à equação:
Passo 8
Agora, basta aplicarmos a transformada inversa:
Pela propriedade da convolução no tempo, . Então:
Passo 9
Da definição de convolução, temos:
ou
Resposta