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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 1.1

Questão 1. Resolva os problemas de valor inicial:

1. y ' ' + 4 y = δ t - π - δ t - 2 π y 0 = 0 ;     y ' 0 = 0

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que resolver a EDO dada por y ' ' + 4 y = δ t - π - δ t - 2 π sabendo que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Como temos a função delta na equação, a melhor maneira de calcular a solução dessa equação é a partir da transformada de Laplace...

Nossa solução será uma função do tipo f t e, portanto, fazemos

L y = L f t

L y ' = s L f t - f t 0

L y ' ' = s 2 L f t - s f t 0 - f ' t 0

E substituímos na EDO calculando a transformada nos dois lados da igualdade.

Então a partir daí isolamos L f t e calculamos sua transformada inversa!

Parece tranquilo? Bora lá! 😉

Passo 2

Nesse caso a EDO é dada por

y ' ' + 4 y = δ t - π - δ t - 2 π

Calculando a transformada nos dois lados da igualdade

L y ' ' + 4 L y = L δ t - π - L δ t - 2 π

s 2 L f t - s f t 0 - f ' t 0 + 4 L f t = L δ t - π - L δ t - 2 π

Foi dito que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 , logo f t 0 = 0 e f ' t 0 = 0 .

Sabemos que L δ t - a = e - a s .

Substituindo essas informações na equação, temos

s 2 L f t + 4 L f t = e - π s - e - 2 π s

s 2 + 4 L f t = e - π s - e - 2 π s

L f t = e - π s - e - 2 π s s 2 + 4

L f t = e - π s s 2 + 4 - e - 2 π s s 2 + 4

Calculando a transformada inversa, temos

f t = L - 1 e - π s s 2 + 4 - L - 1 e - 2 π s s 2 + 4

Pelas propriedades da função degrau, temos

L - 1 e - π s s 2 + 4 = H t - π sin ⁡ 2 t - π 2

L - 1 e - 2 π s s 2 + 4 = H t - 2 π sin ⁡ 2 t - 2 π 2

Ou seja

f t = H t - π sin ⁡ 2 t - π 2 - H t - 2 π sin ⁡ 2 t - 2 π 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

f t = H t - π sin ⁡ 2 t - π 2 - H t - 2 π sin ⁡ 2 t - 2 π 2

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