Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Ver TeoriaEnunciado
(2,5 pts) Resolva o PVI
Passo 1
Opa, vamos lá. Nessa questão, quando a gente vê a função degrau e os valores iniciais já começa a ecoar transformada de Laplace nos nossos ouvidos, né
Vamos então resolver essa EDO assim?
Bom, vamos ver como fica a transformada de Laplace para cada termo:
Substituindo tudo isso na expressão:
Vamos começar pensando no primeiro termo:
Esse denominador na forma que está não tem uma transformada muito clara. Então, podemos separar em frações parciais da seguinte forma:
Então,
Voltando à estrutura do primeiro termo:
Para calcularmos a inversa dessas funções, vamos olhar a tabela de transformadas dec Laplace.
Pra primeira função, temos:
Já pra segunda, temos um trabalhinho adicional porque temos que rearrumar a função:
A terceira também é rapidinha de resolver
E faltou só a quarta função, que tem dentro dela a segunda, já calculada:
Logo, a transformada inversa do primeiro termo será:
E finalmente:
Passo 2
Eita que esse primeiro termo foi puxado de calcular. O segredo é ir fazendo aos pouquinhos, um pedaço de cada vez, senão a gente se enrola!! Agora, vamos pensar no segundo termo e torcer pra ser mais tranquilo, né?
Vamos olhar algo parecido na nossa tabela de transformadas de Laplace.
Bom, para ficar da forma como está na tabela, podemos somar e subtrair do numerador.
Vamos calcular agora a transformada inversa desses dois termos:
Logo a transformada inversa do segundo termo é:
Passo 3
Ufa!! Agora que já temos as transformadas de Laplace inversa dos dois termos, podemos juntá-las para acharmos a nossa solução.
Essa questão não é simples não. Ela cobra a transformada de Laplace e a transformada inversa de várias formas diferentes. Sei que é bem trabalhosa e a gente precisa estar MUITO atenta(o) para não errar besteira.
E já que conseguimos vencer a questão, temos que comemorar.
