Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Função Degrau, Integral de Convolução
- Escreva utilizando funções degrau e calcule a sua transforma de Laplace,
- Encontre a solução da seguinte p.v.i. utilizando o método de transformadas de Laplace:
Onde e e é dada no item
Passo 1
Vamos começar escrevendo essa função com funções degrau.
Repara que ela é até , e depois ela vale , então vamos começar montando a equação como uma função degrau que começa em vezes , assim vamos ter
Mas isso não mostra a função toda, depois do essa função passa a ser , ou seja, a função na verdade é
Cabe a nós descobrir essa repara que a partir do temos, para esse cara que escrevemos
Mas sabemos também que
Então
E
E a nossa função vai ficar
Passo 2
Agora precisamos agora achar a transformada de . A transformada que envolve a função degrau vai ser
Então temos que para cada uma daquelas funções achar dela.
Vamos começar com
Vamos ter, nesse caso
Se somarmos em cada vamos ter
Temos
Assim, sabendo que
Temos
Passo 3
Vamos agora para
Vamos ter, nesse caso
Se somarmos em cada vamos ter
Temos
Assim, sabendo que
Temos
Passo 4
Agora que achamos as transformadas dos pedaços da vamos fazer
Então
E ai está a transformada da nossa função
Passo 5
Agora ele quer a solução dessa EDO. Vamos começar aplicando transformada de Laplace à equação. Temos que:
Sabemos que
Substituindo na equação vamos ter
Passo 6
Vamos substituir o valor inicial, o valor da transformada de e isolar
Para resolver essas transformadas inversas vamos usar Convolução, isso porque sabemos que
Assim, com temos
Que é quase o que temos ali, temos que dar uma arrumadinha.
Assim sabemos a transformada inversa da parte sem que são aquelas duas que calculamos ali em cima, e a transformada inversa da parte com
Passo 7
Vamos dar uma arrumada nessa transformada antes de usarmos Convolução
Lembrando que
Assim na verdade só precisamos fazer a transformada inversa dos caras que multiplicam os exponenciais. Repara que é um só, mesmo tendo duas exponenciais.
Assim vamos fazer
Onde
Lembrando que
E
Assim vamos ter
E podemos agora usar convolução, vamos ter
Passo 8
Vamos resolver essa integral,
Vamos fazer por partes
Assim vamos ter
Passo 9
A nossa função vai ficar
Passo 10
Fizemos lá em cima, a seguinte conta
Lembrando que
Vamos ter
Assim vamos ter
Substituindo a função que trocamos, vamos ter
Resposta
a)
b)