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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P3 - Questão 7

Seja y ( t ) a solução do PVI:

y ' ' t + 4 y t = g t = sen ⁡ t - u π t sen ⁡ ( t - π ) ,   y ( 0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 0

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Considere as seguintes afirmações:

(I) A solução y ( t ) tem período 2 π .

(II) g ' ( π ) não existe.

Escolha uma solução:

a) Somente a afirmação (I) é verdadeira

b) As duas afirmações são verdadeiras

c) As duas afirmações são falsas

d) Somente a afirmação (II) é verdadeira

Passo 1

Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L y ' ' + 4 y ( s ) = L sen ⁡ t - u π t sen ⁡ ( t - π ) s

Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo no lado esquerdo da equação, temos que:

L y ' ' + 4 y ( s ) = s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 4 L y s

Já para o lado direito, temos que tirar o Laplace de...

L sen ⁡ t - u π t sen ⁡ ( t - π ) s = L sen ⁡ t s - L u π t sen ⁡ ( t - π ) s

L sen ⁡ t s , a gente sabe que vale...

L sen ⁡ t s = 1 s 2 + 1

Quanto à L u π t sen ⁡ ( t - π ) s , é preciso se ligar na seguinte relação...

L u c f t - c s = e - c s L [ f t ] ( s )

Logo, teremos que...

L u π ( t ) sen ⁡ t - π s = e - π s L sen ⁡ t = e - π s s 2 + 1

E então...

L sen ⁡ t - u π t sen ⁡ ( t - π ) s = 1 - e - π s s 2 + 1 = 1 s 2 + 1 - e - π s s 2 + 1

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 0 e y ' 0 = 0 .

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 4 L y s = 1 - e - π s s 2 + 1

( s 2 + 4 ) L y s = 1 - e - π s s 2 + 1

L y s = 1 - e - π s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) - e - π s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Passo 3

Do exercício 4 , a gente sabe que...

L - 1 e - π s s 2 + 1 s 2 + 4 s =   1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

Falta obter a transformada de Laplace inversa de...

1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Usando frações parciais, temos que...

1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 1 3 ( s 2 + 1 ) - 1 3 ( s 2 + 4 )

Dessa forma...

L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 4 = 1 3 L - 1 1 ( s 2 + 1 ) - 1 3 L - 1 1 ( s 2 + 4 )

L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 4 = 1 3 sen ⁡ t - 1 6 sen ⁡ 2 t

E desse modo, obtemos que...

L y s = 1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) - e - π s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

y t = L - 1 1 s 2 + 1 s 2 + 4 - e - π s s 2 + 1 s 2 + 4

y t = 1 3 sen ⁡ t - 1 6 sen ⁡ 2 t - 1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

E como podemos ver, o período de y ( t ) é igual à π !

Passo 4

Vamos dar uma olhada agora, em g ( t ) , que segundo o enunciado é dado por...

g t = sen ⁡ t - u π t sen ⁡ ( t - π )

g t = sen ⁡ t - δ ( t - π ) sen ⁡ ( t - π )

Tirando a derivada...

g ' t = cos ⁡ t - δ cos ⁡ t t - π + sen ⁡ t = 0

Logo, substituindo π ...

g ' π = cos ⁡ π - δ cos ⁡ π π - π + sen ⁡ π = 0

Podemos ver que g ' π não existe! Então, a letra (d) é a única alternativa correta!

Resposta

d) Somente a afirmação (II) é verdadeira

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