Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - PF - 2022.1 - Questão 2
Encontre a solução do problema de valor inicial onde
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado nos dá uma problema de valor inicial, apresentando uma equação diferencial da forma
cuja solução deve respeitar as seguintes condições e . A função é uma função seccionalmente contínua, que apresenta uma descontinuidade em , e devemos levar isso em consideração durante nossa resolução!
O plano aqui é utilizar transformadas de laplace para transformar um problema de cálculo, em um problema algébrico. Para isso vamos precisar relembrar algumas transformadas elementares, assim como, será conveniente reescrever a função em termos de uma função degrau. Nós vamos começar por aí! Vem comigo!
Passo 2
Nós precisamos construir uma função que seja descontínua em , e que seja equivalente à , podemos lembrar a seguinte definição
Note que, se considerarmos , podemos utilizar a definição acima para estabelecer que
Como temos que para , e temos que para , podemos escrever que
Note que esta definição é equivalente, pois em todos os intervalos, ela recupera o resultado esperado! Desta forma, a nossa equação diferencial toma a seguinte forma
Vamos aplicar agora as transformadas de laplace que precisamos e partir para a resolução do problema de valor inicial!
Passo 3
Para resolver este problema de valor inicial, temos que relembrar algumas transformadas elementares, as relevantes para este problema são
também temos que
e por último, temos que
Ao aplicarmos a transformada de laplace em nossa equação diferencial temos que
Utilizando a equação (5) para , e a equação (3) para , e utilizando também a equação (2), temos que
em que chamei . Usando que e , temos que
É conveniente que isolemos a função , portanto, evidenciando a função na equação acima, podemos escrever
E então dividindo os dois lados por , temos que
Vamos precisar calcular a transformada inversa da equação (5) para obter a nossa solução! Mas para isso, precisamos ser capazes de identificar as inversas em termos de funções elementares! Então vamos ter que reescrever um pouquinho os termos utilizando frações parciais! Vamos lá!
Passo 4
O termo que precisamos reescrever é o seguinte
Utilizando frações parciais, podemos expandir esta expressão em duas partes
Note que o método de frações parciais pode ser utilizado quando temos em um denominador produto de expressões irredutíveis (que não podem ser fatorados em outras expressões). No caso, temos no denominador um polinômio de grau 1 e um polinômio de grau 2, respectivamente, para respeitar o método de frações parciais, supus que os numeradores são polinômios de grau 0 e grau 1. Se multiplicarmos os dois lados da expressão acima por , temos que
se expandirmos os produtos e agruparmos os termos de mesma potência em , temos que
Podemos dizer que para que a igualdade acima seja válida, os coeficientes de , e os termos constantes, devem ser iguais em ambos os lados, portanto, montamos o seguinte sistema de equações
E, portanto, temos que . E a nossa expressão original toma a seguinte forma
Vamos utilizar esta expansão na equação (5). Vem comigo!
Passo 5
Substituindo a equação (6) na equação (5) temos que
Agora precisamos calcular as nossas transformadas inversas, vamos identificá-las usando as seguintes transformadas elementares
Calculando a transformada inversa da equação (7), temos que o primeiro termo pode ser identificado pela equação (10), o segundo termo pela equação (9) com , o terceiro termo com a equação (8) com , o quarto termo é dado pela equação (11) identificando que e é dado pela equação (10), e por último, podemos usar a equação (11) com e dado pela equação (9). Portanto, temos que
Essa é a nossa solução final! A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!