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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Delta de Dirac

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - π

onde y 0 = 0 e y ' 0 = 2 .

Passo 1

Vamos reconhecer cada termo da equação e suas Transformadas de Laplace. No lado esquerdo, temos:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

L y = Y s

No lado direito, temos uma função impulso:

L δ ( t ) = 1

Como o impulso está deslocado, segue da propriedade de deslocamento no tempo:

L δ ( t - t 0 ) = e - s t 0

Como t 0 = π :

L δ ( t - π ) = e - π s

Logo, por linearidade:

L 2 δ ( t - π ) = 2 e - π s

Passo 2

Agora, substituímos os valores iniciais dados: y 0 = 0 e y ' 0 = 2 .

L y ' ' = s 2 Y s - 2

L y ' = s Y s

L y = Y s

E, de volta à equação, temos:

s 2 Y s - 2 + 2 s Y ( s ] + 2 Y ( s ) = 2 e - π s

Passo 3

Vamos isolar Y ( s ) para tentar resolver a equação acima.

s 2 Y s - 2 + 2 s Y ( s ) + 2 Y ( s ) = 2 e - π s

Y s s 2 + 2 s + 2 = 2 + 2 e - π s

Y s = 2 s 2 + 2 s + 2 + 2 e - π s s 2 + 2 s + 2

Passo 4

Agora reescrevemos o denominador como s 2 + 2 s + 2 = s + 1 2 + 1 .

Pareceu mágica? Calma, você já vai ver porque fizemos isso.

Y s = 2 s + 1 2 + 1 + 2 e - s π s + 1 2 + 1

Passo 5

Então basta encontrar os pares de transformada dos termos que achamos.

Como

L e - a t s e n ⁡ ( ω t ) = ω s + a 2 + ω 2

Identificamos a = 1 e ω = 1 :

L e - t s e n ⁡ ( t ) = 1 s + 1 2 + 1

Logo:

L 2 e - t s e n ⁡ ( t ) = 2 s + 1 2 + 1

Já o terceiro termo é igual ao segundo, multiplicado por uma exponencial. Essa exponencial introduz um deslocamento no tempo, lembra?

L x ( t - t 0 ) = e - s t 0 X ( s )

Como t 0 = π e x t = 2 e - t s e n ⁡ ( t ) neste caso, segue que

L 2 e - ( t - π ) s e n ⁡ ( t - π ) = 2 s + 1 2 + 1 . e - s π

Mas cuidado, essa função só é diferente de zero para t ≥ π . Podemos escrevê-la como

2 e - ( t - π ) sen ⁡ t - π u π ( t )

Passo 6

Vamos aplicar os pares acima para tomar a transformada inversa da equação.

Y s = 2 s + 1 2 + 1 + 2 s + 1 2 + 1 . e - s π

E, assim, obtemos:

y t = 2 e - t sen ⁡ t + 2 e - ( t - π ) s e n ⁡ ( t - π ) u π ( t )

Resposta

y t = 2 e - t sen ⁡ t + 2 e - ( t - π ) s e n ⁡ ( t - π ) u π ( t )

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