Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Dada a equação diferencial de segunda ordem ,
(c) Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Como temos uma função degrau e um PVI, é conveniente resolvermos usando transformada de Laplace. Para isso, vamos aplicar a transformada na equação e usar as propriedades de linearidade:
Passo 2
Vamos olhar para cada uma das transformadas agora. Para simplificar as coisas, vamos chamar:
Show. Teremos que, para a transformada da derivada:
Pelas condições iniciais do problema:
E pela transformada do degrau:
Passo 3
Então substituímos tudo na equação:
E isolamos o do lado esquerdo da equação:
Passo 4
Agora, teremos que tentar achar a transformada inversa a partir de . Para isso, vamos separar nossa fração em algumas mais simples:
Começamos dando um jeito na última:
Para isso, usamos frações parciais, encontrando frações na forma:
Portanto:
Comparando os coeficientes dos numeradores, temos o sistema:
Então, substituindo a última na primeira:
E ficaremos com:
E, vamos ter:
Passo 5
Substituindo tudo, nossa transformada vai ficar desse jeito:
Assim, pela inversa:
Legal. Por tabela, temos:
Assim:
Também:
Então, adivinha só:
E, para emocionar o professor, vamos lembrar que a exponencial tem um efeito de deslocar a função e multiplicar por um degrau:
Logo, como:
Teremos:
Além disso,
E nossa solução final vai ser: