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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Exercício 311234567891011121314151617181920212223242526272829303233343536373839404142434445464748495051525354555657

Enunciado

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y ' + 13 y = δ π t + δ 3 π t ,       y 0 = 1       e         y ' 0 = 0

Passo 1

A gente vai começar o nosso problema aplicando Laplace em si na nossa equação:

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = L δ π t + δ 3 π t s

Após a gente encontrar a Transformada desses dois lados da igualdade, a gente isola o Y s e aplica a transformada inversa para obter a solução da EDO. Vamos nessa?

Passo 2

Aqui, vamos nos dedicar apenas ao lado esquerdo da equação do Passo 1:

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s

Ora, a transformada da soma é a soma das transformadas (e o produto por uma constante é a constante vezes a transformada), ou seja:

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = L y ' ' s + 4 L y ' s + 13 L y s

Lembrando que a transformada de y é L y s = Y s , a transformada da segunda derivada é:

L y ' ' s = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

E da primeira derivada...

L y ' s = s Y s - y 0

Portanto...

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 4 s Y s - y 0 + 13 Y s     →

Substituindo as condições iniciais do enunciado...

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = s 2 Y s - s + 4 s Y s - 1 + 13 Y s     →

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = s 2 Y s - s + 4 s Y s - 4 + 13 Y s     →

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = Y s s 2 + 4 s + 13 - s - 4    

Passo 3

Agora vamos trabalhar com a Laplace do outro lado da equação do passo 1:

L δ π t + δ 3 π t s = L δ π t s + L δ 3 π t s

Ora! Quem é o Laplace de uma função delta de Dirac?...

L δ π t = e - π s

E

L δ 3 π t = e - 3 π s

Logo, concluímos que:

L δ π t + δ 3 π t s = e - π s + e - 3 π s

Passo 4

Então, juntando esses dois passos, a gente conclui que:

L y ' ' + 4 y ' + 13 y s = L δ π t + δ 3 π t s   →

Y s s 2 + 4 s + 13 - s - 4 = e - π s + e - 3 π s     →

Y s = e - π s s 2 + 4 s + 13 + e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + s + 4 s 2 + 4 s + 13

Basicamente, a gente agora vai buscar a Laplace inversa disso aí e o nosso problema estará terminado, já que:

L - 1 Y s = y x = L - 1 e - π s s 2 + 4 s + 13 + e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + s + 4 s 2 + 4 s + 13

Nos próximos   3 passos, a gente vai procurar a transformada inversa de cada um desses termos!

Passo 5

Vamos começar aqui com o que aparenta ser o mais fácil:

L - 1 e - π s s 2 + 4 s + 13

Ora, essa fração está em uma notação horrível! Vamos começar tentando encontrar alguma fração que a gente siba a transformada inversa. Para isso, vamos lembrar que s + 2 2 = s 2 + 4 s + 4 , logo:

L - 1 e - π s s 2 + 4 s + 13 = L - 1 e - π s s + 2 2 + 9 =

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2

Outra coisa que também já sabemos, pois já utilizamos, é a Laplace de uma função degrau:

L u a f x - a = e - a s L f x

Ou seja...

u a f x - a = L - 1 e - a s L f x

No nosso caso, a = π e:

L f x = 1 s + 2 2 + 3 2 = 1 3 3 s + 2 2 + 3 2                       →                 f x = 1 3 e - 2 x sin ⁡ 3 x

Logo, no lugar de x , vamos colocar x - π ...

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 = u π f x - π = u π 1 3 e - 2 x - π sin ⁡ 3 x - π

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 = 1 3 u π e 2 π e - 2 x sin ⁡ 3 x - 3 π

Como sin ⁡ 3 x - 3 π = sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 π - sin ⁡ 3 π cos ⁡ 3 x = - sin ⁡ 3 x ...

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 = - 1 3 u π e 2 π e - 2 x sin ⁡ 3 x

Passo 6

Agora, em contrapartida, vamos calcular essa daqui:

L - 1 e - 3 π s s 2 + 4 s + 13

Pode até parecer à mesma coisa, mas não é, ok!

Vamos lá...

1 s 2 + 4 s + 13 = 1 3 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2

Outra coisa que também já sabemos, pois já utilizamos, é a Laplace de uma função degrau:

L u a f x - a = e - a s F s

Ou seja...

u a f x - a = L - 1 e - a s F s

No nosso caso, a = 3 π e:

F s = 1 3 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2               →             D o   p a s s o   a n t e r i o r             →                 f x = 1 3 e - 2 x sin ⁡ 3 x

Logo, no lugar de x , vamos colocar x - 3 π ...

L - 1 e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 = u π f x - 3 π = u π 1 3 e - 2 x - 3 π sin ⁡ 3 x - 3 π

L - 1 e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 = 1 3 u π e 6 π e - 2 x sin ⁡ 3 x - 9 π

Como sin ⁡ 3 x - 9 π = sin ⁡ 3 x cos ⁡ 9 π - sin ⁡ 3 π cos ⁡ 9 x = - sin ⁡ 3 x ...

L - 1 e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 = - 1 3 u π e 6 π e - 2 x sin ⁡ 3 x

Passo 7

Por fim, vamos para a transformada inversa mais chatinha:

L - 1 s + 4 s 2 + 4 s + 13 = L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 L - 1 1 s + 2 2 + 3 2

Chatinha nada, neh? Kkkk Tava só zoando, pois calculemos fácil:

L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 = e - 2 t cos ⁡ 3 t

2 L - 1 1 s + 2 2 + 3 2 = 2 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 =

2 3 e - 2 t sin ⁡ 3 t

Passo 8

Finalmente, juntando tudo o que foi falado nos 3 últimos passos:

y x = L - 1 e - π s s 2 + 4 s + 13 + e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + s + 4 s 2 + 4 s + 13     →

y x = - 1 3 u π e 2 π e - 2 x sin ⁡ 3 x - 1 3 u π e 6 π e - 2 x sin ⁡ 3 x + e - 2 t cos ⁡ 3 t + 2 3 e - 2 t sin ⁡ 3 t

Prontinho!

Resposta

y x = - 1 3 u π e 2 π e - 2 x sin ⁡ 3 x - 1 3 u π e 6 π e - 2 x sin ⁡ 3 x + e - 2 t cos ⁡ 3 t + 2 3 e - 2 t sin ⁡ 3 t

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