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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Delta de Dirac

Resolva o PVI:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = δ t - 1 ;         y 0 = 2   e   y ' 0 = - 3

usando transformada de Laplace.

Passo 1

Vamos reconhecer cada termo da equação e suas Transformadas de Laplace. No lado esquerdo, temos:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

L y = Y s

No lado direito, temos uma função impulso:

L δ ( t ) = 1

Como o impulso está deslocado, segue da propriedade de deslocamento no tempo (com t 0 = 1 ):

L δ ( t - t 0 ) = e - s t 0

L δ ( t - 1 ) = e - s

Passo 2

Agora, substituímos os valores iniciais dados: y 0 = 2 e y ' 0 = - 3 .

L y ' ' = s 2 Y s - 2 s + 3

L y ' = s Y s - 2

L y = Y s

E, de volta à equação, temos:

s 2 Y s - 2 s + 3 + 4 s Y ( s - 2 ] + 4 Y ( s ) = e - s

Passo 3

Vamos isolar Y ( s ) para tentar resolver a equação acima.

s 2 Y s - 2 s + 3 + 4 s Y s - 8 + 4 Y ( s ) = e - s

Y s s 2 + 4 s + 4 = 2 s + 5 + e - s

Y s = 2 s + 5 + e - s s 2 + 4 s + 4

Simplificando e abrindo as frações:

Y s = 2 s + 5 + e - s s + 2 2

Y s = 2 ( s + 2 ) s + 2 2 + 1 s + 2 2 + e - s s + 2 2

Y s = 2 s + 2 + 1 s + 2 2 + e - s s + 2 2

Passo 4

Agora basta encontrar as transformadas inversas dos termos que achamos.

L - 1 Y s = L - 1 2 s + 2 + 1 s + 2 2 + e - s s + 2 2

y ( t ) = L - 1 2 s + 2 + L - 1 1 s + 2 2 + L - 1 e - s s + 2 2

Primeiro,

L - 1 2 s + 2 = 2 e - 2 t

Depois, note que

L - 1 1 s + 2 2 = e - 2 t L - 1 1 s 2 = t e - 2 t

Logo,

L - 1 e - s s + 2 2

dá o mesmo t e - 2 t , porém atrasado em uma unidade:

L - 1 e - s s + 2 2 = t - 1   e - 2 t - 1 u 1 ( t )

Passo 5

Combinando tudo:

y ( t ) = 2 e - 2 t + t e - 2 t + t - 1   e - 2 t - 1 u 1 ( t )

Resposta

y ( t ) = 2 e - 2 t + t e - 2 t + t - 1   e - 2 t - 1 u 1 ( t )

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