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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' - 4 y ' + 3 y = g t y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Onde g : [ 0 , + ∞ [ → R é a função definida por

g t = 4 e t   s e   0 ≤ t ≤ 2 0   s e   t > 2

Passo 1

Essa função g ( t ) pode ser escrita utilizando uma função degrau unitário. Sabemos que a função deve ser igual a   6 e t de 0 a 1 e depois disso deve ser nula.

g t = 4 e t - u 2 t 4 e t

Como temos uma função com degrau unitário vai ser legal usarmos transformada de Laplace para resolver essa EDO. Vamos fazer isso.

Passo 2

Tomando L y ( t ) = Y ( s ) e L g t = G ( s ) teremos

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

Logo a nossa EDO ficará

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 4 s Y s - y 0 + 3 Y s = G ( s )

Substituindo os valores de y ( 0 ) e y ' ( 0 ) .

s 2 Y s - 4 s Y s + 3 Y s = G ( s )

Y s = G s s 2 - 4 s + 3 = G s s - 1 s - 3

Passo 3

Vamos calcular G ( s ) agora. Vamos primeiro reescrever g ( t )

g t = 4 e t - 4 u 2 t e t - 2 + 2

Lembrando que L u c t f t - c = e - c s L f t , teremos.

G s = 4 L e t - 4 e - 2 s L [ e t + 2 ]

G s = 4 s - 1 - 4 e - 2 s e 2 L e t

G s = 4 s - 1 - e - 2 s 4 e 2 s - 1 = 4 s - 1 ( 1 - e 2 - 2 s )

Passo 4

Voltando G ( s ) para o resultado que obtivemos no passo 2

Y s = 4 s - 1 2 s - 3 ( 1 - e 2 - 2 s )

Chamando   L h t = H s = 4 s - 1 2 s - 3 , teremos

Y s = H s - e 2 - 2 s H ( s )

Então para obtermos y ( x )

y x = L - 1 H s - L - 1 e 2 e - 2 s H s = h t - e 2 u 2 t h ( t - 2 )

Basta então calcularmos h t .

Passo 5

Vamos reescrever H ( s ) em frações parciais

H s = 4 s - 1 2 s - 3 = A s - 3 + B s - 1 + C s - 1 2

Para encontrarmos os coeficientes A ,   B   e   C teremos a seguinte equação.

4 = A s - 1 2 + B s - 3 s - 1 + C ( s - 3 )

Fazendo s = 1 na equação

4 = - 2 C

Fazendo s = 3 na equação

4 = 4 A

Substituindo os valores de A   e   C e fazendo s = 2

4 = 1 × 1 2 + B × ( - 1 ) - 2 × ( - 1 )

B = - 1

Logo teremos

H s = 6 s - 1 2 s - 3 = 1 s - 3 - 1 s - 1 - 2 s - 1 2

Agora sabemos essas transformadas inversas de cabeça

h t = e 3 t - e t - 2 t e t

Logo teremos

y x = e 3 t - e t - 2 t e t - e 2 u 2 t [ e 3 t - 2 - e t - 2 - 2 ( t - 2 ) e t - 2 ]

Resposta

y x = e 3 t - e t - 2 t e t - e 2 u 2 t [ e 3 t - 2 - e t - 2 - 2 ( t - 2 ) e t - 2 ]

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