Um arame circular horizontal, de raio R, contém três contas carregadas em equilíbrio, de cargas Q, Q e q, como mostra a Figura 2. As distâncias entre as contas de carga Q e a de carga q é dada por L, enquanto a distância entre as duas contas de carga Q é dada por D, formando um triângulo isósceles. As contas só podem se mover, sem atrito, ao longo do arame circular.

d) Expresse a energia potencial eletrostática total do sistema de três cargas, U, como função de {q, Q, α, R}.

e) Suponha que q = Q. Obtenha o valor de α que minimiza a energia eletrostática total do sistema U.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Letra (d):

Temos três cargas, então temos três pares para contabilizar na energia. Precisamos contabilizar a energia de trazer as três cargas do infinito até aqui. Então temos:

U = U q Q + U q Q + U Q Q

U = k 0 q Q L + k 0 q Q L + k 0 Q Q D

Certo?

Beleza até aqui?

O problema ficou determinar as distâncias L e D em termos do raio e do ângulo α .

Passo 2

Olhando o triângulo A B O , o ângulo interno é α e podemos aplicar a lei dos cossenos para determinar L em função de R e α .

Da lei dos cossenos temos:

R 2 = R 2 + L 2 - 2 R L c o s α

2 R L c o s α = R 2

L = R c o s α

E analisando o triângulo temos que D / 2 é igual a L s e n α . Daí temos:

D = 2 L s e n α = 2 s e n α R c o s α

D = 2 R t g α

Aí a energia potencial desse sistema é:

U = k 0 q Q L + k 0 q Q L + k 0 Q Q D

U = 2 k 0 q Q L + k 0 Q Q D

U = 2 k 0 q Q R c o s α + k 0 Q 2 2 R t g α

U = 2 k 0 q Q R c o s α + k 0 Q 2 2 R t g α

Ou melhor:

U = 2 k 0 Q 2 R c o s α + k 0 Q 2 c o t g α 2 R

Passo 3

Letra (e): para q = Q a energia fica assim:

U = 2 k 0 Q 2 R c o s α + k 0 Q 2 c o t g α 2 R

U = k 0 Q 2 R 2 c o s α + c o t g α 2

E o valor de α que minimiza é quando temos d U d α = 0 , então precisamos derivar essa coisinha aí:

d U d α = k 0 Q 2 R - 2 s e n α - c o s s e c 2 α 2 = 0

E daí temos:

- 2 s e n α = 1 2   s e n α 2

s e n 3 α = - 1 4

s e n α = - 0,62

α = 231,68 °   o u   321,68 °  

Espero ter ajudado!

Resposta

d )   U = 2 k 0 Q 2 R c o s α + k 0 Q 2 c o t g α 2 R

e ) α = 231,68 °   o u   321,68 °  

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