Exercícios Resolvidos de Energia Potencial e Trabalho

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Enunciado

Três partículas carregadas com cargas q , q e - 2 q   ( q > 0 ) são fixadas sobre os vértices de um triângulo equilátero, como mostrado na Figura abaixo. O centro do triângulo é indicado pelo ponto P .

Considere que a energia potencial elétrica seja nula quando as cargas estiverem infinitamente afastadas. Sobre esse sistema, são feitas as afirmativas abaixo:

  1. A energia potencial elétrica do sistema é negativa.
  2. O potencial elétrico é constante sobre um eixo perpendicular ao triângulo e que passa por P .
  3. O trabalho realizado pela força elétrica sobre uma partícula carregada, quando ela é deslocada do infinito até o ponto P , é nulo.

São VERDADEIRAS as afirmativas:

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I   e   I I
  5. I   e   I I I
  6. I I   e   I I I
  7. I ,   I I   e   I I I
  8. Nenhuma delas.

Passo 1

I) Para calcularmos a energia potencial elétrica do sistema, vamos tomar a Figura a seguir com as partículas I , I I e I I I com cargas q , - 2 q e q , respectivamente. A energia potencial elétrica entre duas partículas quaisquer q 1 e q 2 , separadas por uma distância r , é dada por

U 12 = q 1 q 2 4 π ε 0 r

A partir dessa Figura, vamos considerar apenas os seguintes pares de partículas I - I I , I - I I I e I I - I I I . Por quê não colocamos também o par I I - I ? Porque esta energia será idêntica àquela do par I - I I , que já foi considerada. Ou seja, só precisamos contabilizar a energia de um par uma única vez.

Tendo isso mente, pessoal, a energia potencial elétrica do sistema neste caso é

U s i s t e m a = q - 2 q 4 π ε 0 L + q q 4 π ε 0 L + q - 2 q 4 π ε 0 L = - 3 q 2 4 π ε 0 L < 0

que é negativa, tornando o item I desta questão CORRETO.

Passo 2

II) Como o ponto P da figura está no centro do triângulo equilátero, ele está situado a uma mesma distância d igual de todas as cargas do triângulo, correto?

A reta P P 1 que passa pelo ponto P da figura é perpendicular ao plano definido pelas três cargas e um ponto arbitrário P 1 desta reta está à mesma distância d 1 de todas as três cargas, como indicado na figura. Portanto, os triângulos I P P 1 , I I P P 1 e I I I P P 1 são retângulos e iguais.

Assim, o potencial V P 1 produzido pelas cargas na posição de um ponto arbitrário da reta P P 1 é dado por

V P 1 = q 4 π ε 0 d 1 + - 2 q 4 π ε 0 d 1 + q 4 π ε 0 d 1 = 0  

ou seja, o potencial em qualquer ponto sobre a reta P P 1 é CONSTANTE E IGUAL A ZERO! Por isso, o item II) está CORRETO.

Passo 3

III) Como o problema se trata de um sistema de cargas estáticas, então temos um sistema conservativo. Dessa maneira, o trabalho realizado pelo campo elétrico desse sistema para levar uma partícula de carga q do infinito até o ponto P depende apenas da energia potencial U ∞ = U ( r = ∞ ) no infinito e da energia potencial U P = U ( r = P ) no ponto P

W ∞ → P   = - ( U ∞ - U P )

A energia U ( r ) num ponto a um distância r arbitrário do sistema pode ser escrita como

U ( r ) = q V ( r )

em que V ( r ) é o potencial gerado pela distribuição no ponto r . Então, o trabalho pode ser escrito como

W ∞ → P = - q ( V r = ∞ - V ( r = P ) )

Como o potencial gerado pelo sistema no infinito é zero, V r = ∞ = 0 , e o potencial no ponto P também V r = P = 0 (o potencial sobre qualquer ponto sobre a reta P P 1 é constante e nulo!), então o trabalho é

W ∞ → P = - q V r = ∞ - V r = P = 0

Portanto, a energia gasta pelo sistema para levar qualquer partícula q do infinito até o ponto P é ZERO.

O item III) da questão está CORRETO.

Resposta

Portanto, o item g) está correto.

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