Listas de C1 - Profª Karla Spatti de Cálculo 1 da UFSCAR - Lista 5 - P2
Cálculo 1 - UFSCAR
(a) Faça um esboço da representação geométrica dos planos cujas equações gerais são dadas por:
(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.
Ver solução completa(b) Dê a equação paramétrica para cada um dos três planos coordenados.
(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.
Ver solução completac) Dê a equação geral para cada um dos três planos coordenados.
(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.
Ver solução completaSendo o vetor um vetor normal ao plano que passa pelo ponto , escrever as equações paramétricas de .
Ver solução completaDois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações r : X = (0, 0, 0)Σ + λ(1, 2, 4) ,
λ ∈ R, e s : X = (1, 0, −2) + λ(1, 1, 1) , λ ∈ R. As trajetórias são concorrentes? Haverá colisão?
Ver solução completaEscreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (2 , 0 , −3) e:
(a) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1 , 0 , 4) e C = (2 , 1 , 3).
(b) é paralela a
(c) é paralela à reta s :
Ver solução completaO plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =
(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +
λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(a) Obtenha uma equação geral para cada um dos três planos.
Ver solução completaO plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =
(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +
λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto. Qual é este ponto?
Ver solução completaDadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
- as retas r e s sejam paralelas e não coincidentes;
Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
c) as retas r e t sejam concorrentes;
Ver solução completaDadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
d) as retas r e s sejam reversas.
Ver solução completaDetermine a projeção ortogonal do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano π : 3x − 4y + 2 = 0.
Ver solução completaEncontre uma equação geral, uma vetorial e uma paramétrica do plano que contém as retas r e s cujas equações na forma simétrica são dadas por r : e s: .
Ver solução completaDadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
(b) as retas r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
Ver solução completaObtenha uma equação vetorial da reta s que contém o ponto P = (1 , 1 , 0), é paralela ou
está contida no plano dado por π : 2 x + y − z − 3 = 0 e é concorrente à reta dada por r : (x , y , z) =
(1 , 0 , 0) + λ(−1 , 0 , 1), para λ ∈ R.
Ver solução completaEncontre a projeção tomada paralelamente à reta dada por r : (x , y , z) = (0 , 0 , 0) +
λ(1 , 4 , 1), λ ∈ R, do ponto P = (1 , 4 , 0) sobre o plano dado por π : x + y − 2 z + 1 = 0.
Ver solução completaDetermine equações paramétricas da reta t simétrica da reta r determinada pelos pontos A =
(1, 0, 0) e B = (0, −1, −1) em relação ao plano π : x + y − z = 3.
Ver solução completaDados os planos , e , encontre uma equação geral do plano que contém e é perpendicular ao plano .
Ver solução completaMostre que o ponto não pertence à reta , e obtenha uma equação geral do plano determinado por .
Ver solução completaMostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de dois pontos distintos A e B é o plano que contém o ponto médio do segmento AB e é perpendicular à reta que passa por A e B.
Ver solução completa(a) Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de A = (2, 1, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (0, 2, 1) é uma reta obtendo uma equação vetorial para ela.
Ver solução completa(b) Mostre que a reta do item (a) é perpendicular ao plano que conté os pontos A, B e C.
Ver solução completaObtenha equações da reta r que contém o ponto e é concorrente à reta , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a .
Ver solução completaDados o ponto e a reta , ache os pontos da reta r que distam do ponto A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a ? Por quê?
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