UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 18
Determine a projeção ortogonal da reta sobre o plano .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular a projeção ortogonal da reta r no plano dado pela equação
Da equação do plano acima, vemos que o plano é ortogonal ao vetor (1,-1,2) pois o produto escalar de qualquer vetor (x,y,z) contido no plano com o vetor (1,-1,2) resulta em zero.
Assim, para calcular a projeção da reta sobre o plano , precisamos projetor o seu vetor diretor sobre o plano: ou seja, precisamos subtrair do vetor diretor a sua projeção no vetor ortogonal ao plano.
Então vamos lá ver como a gente faz isso!
Passo 2
Como a equação da reta é dada por
Temos que todos pontos sobre a reta são da forma:
Então, podemos escrever a equação vetorial da reta como
Portanto, temos que o vetor diretor da reta é o vetor u = (3,3,1). Então, para calcular a projeção da reta sobre o plano, precisamos calcular a projeção do vetor diretor u sobre o vetor perpendicular ao plano v e subtrair o resultado do vetor diretor u.
Antes, iremos normalizar o vetor v ortogonal ao plano, dividindo-o pelo seu módulo:
Então, o vetor normalizado ortogonal ao plano é o vetor . Então, a projeção do vetor u = (3,3,1) no vetor ortogonal é:
Então, a projeção do vetor diretor sobre o plano é simplesmente
Então, a projeção do vetor diretor no plano é . Logo, a projeção da reta sobre o plano é dada pela reta parametrizada