Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Determine a projeção ortogonal da reta r   :   x   +   1   =   y   +   2   =   3 z   −   3 sobre o plano π   :   x   − y   +   2 z   =   0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a projeção ortogonal da reta r no plano π dado pela equação

x   −   y   +   2 z   =   0

Da equação do plano acima, vemos que o plano π é ortogonal ao vetor (1,-1,2) pois o produto escalar de qualquer vetor (x,y,z) contido no plano com o vetor (1,-1,2) resulta em zero.

Assim, para calcular a projeção da reta sobre o plano π , precisamos projetor o seu vetor diretor sobre o plano: ou seja, precisamos subtrair do vetor diretor a sua projeção no vetor ortogonal ao plano.

Então vamos lá ver como a gente faz isso!

Passo 2

Como a equação da reta é dada por

r   :   x   +   1   =   y   +   2   =   3 z   −   3

Temos que todos pontos sobre a reta são da forma:

( x , y , z ) = ( 3 z - 4 ,   3 z - 5 , z )

Então, podemos escrever a equação vetorial da reta como

r :   ( - 4 , - 5,0 ) + z ( 3,3 , 1 )

Portanto, temos que o vetor diretor da reta é o vetor u = (3,3,1). Então, para calcular a projeção da reta sobre o plano, precisamos calcular a projeção do vetor diretor u sobre o vetor perpendicular ao plano v e subtrair o resultado do vetor diretor u.

Antes, iremos normalizar o vetor v ortogonal ao plano, dividindo-o pelo seu módulo:

v = 1 ² + ( - 1 ) ² + 2 ² = 6

Então, o vetor normalizado ortogonal ao plano π é o vetor v = 1 6 1 , - 1,2 . Então, a projeção do vetor u = (3,3,1) no vetor ortogonal é:

u ⋅ v = 3 6 - 3 6 + 2 6 = 2 6

Então, a projeção do vetor diretor sobre o plano é simplesmente

P r o j u = u - ( u ⋅ v ) v = ( 3,3 , 1 ) - 2 6 1 6 , - 1 6 , 2 6 = ( 3,3 , 1 ) - 1 3 , - 1 3 , 2 3 = 8 3 , 10 3 , 1 3

Então, a projeção do vetor diretor no plano é 8 3 , 10 3 , 1 3 . Logo, a projeção da reta sobre o plano é dada pela reta parametrizada

r ' :   t 8 3 , 10 3 , 1 3

Resposta

r ' :   t 8 3 , 10 3 , 1 3

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