UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 29
Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de dois pontos distintos A e B é o plano que contém o ponto médio do segmento AB e é perpendicular à reta que passa por A e B.
Passo 1
- Seja A um ponto no espaço tridimensional, com coordenadas (x1, y1, z1).
- Seja B outro ponto no espaço tridimensional, com coordenadas (x2, y2, z2).
- O ponto médio M do segmento AB terá coordenadas [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2].
Vamos considerar um ponto P no espaço com coordenadas genéricas (x, y, z) e investigar quando ele é equidistante de A e B.
A distância entre P e A é dada pela fórmula da distância euclidiana:
D(AP) =
E a distância entre P e B é:
Passo 2
Agora, queremos encontrar os pontos P que são equidistantes de A e B, ou seja, D(AP) = D(BP).
Isso implica:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
4. Expandindo os termos quadrados:
5. Cancelando os termos x^2, y^2 e z^2 de ambos os lados da equação:
6. Agora, vamos reorganizar os termos:
7. Podemos fatorar o 2 dos termos:
8. Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, essa é uma equação linear que descreve um plano no espaço tridimensional. O coeficiente de x é (x1 - x2), o coeficiente de y é (y1 - y2), o coeficiente de z é (z1 - z2), e o termo constante é .
Portanto, o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de A e B é, de fato, um plano. Além disso, esse plano é perpendicular à reta que passa por A e B, pois os vetores normais do plano são proporcionais aos coeficientes dos pontos A e B, que são os vetores que definem a direção da reta.
Resposta
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