UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 19
Determine equações paramétricas da reta t simétrica da reta r determinada pelos pontos A =
(1, 0, 0) e B = (0, −1, −1) em relação ao plano π : x + y − z = 3.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão pede para a gente determinar equações paramétricas para uma reta t que é simétrica, em relação ao plano , à reta r que liga os pontos A e B. Primeiro, vamos determinar a equação da reta r e onde a reta r intercepta o plano . Como a reta r passa pelos pontos A e B, podemos escrever sua equação como:
Quando , estamos no ponto A e quando , estamos no ponto B. Agora, para descobrir onde essa reta intercepta o plano, precisamos descobrir quando as coordenadas (x,y,z) de seus pontos se igualam às coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Então, fazemos:
Substituindo na equação do plano, obtemos:
Portanto, a reta intercepta o plano no ponto P = (3,2,2). Agora que temos o ponto P de interseção entre o plano e a reta, tudo que precisamos fazer é escolher um ponto P’ sobre a reta para calcular o vetor deslocamento de P até P’ e projetá-lo sobre o vetor ortogonal ao plano. Vamos escolher o ponto A sobre a reta. O vetor deslocamento d do ponto P até o ponto A é dado por
Além disso, como a equação do plano é dada por , vemos que esse plano é paralelo ao plano com equação , apenas deslocado de um fator -3. Então temos que o vetor v ortogonal ao plano é simplesmente dado por
Normalizando o vetor v, temos
Assim, a projeção de d ao longo de v é dada por
Agora que a gente sabe a projeção de um ponto da reta sobre o plano, podemos calcular o ponto simétrico, pertencente a reta t. Então, vamos lá!
Passo 2
Com posse da projeção de d no vetor ortogonal ao plano, podemos escolher o ponto A sobre a reta e subtrair a projeção do vetor d sobre o vetor ortogonal, e assim iremos parar em um ponto do plano. Subtraindo mais uma vez a projeção ortogonal, iremos parar fora do plano, mas sobre um ponto simétrico! Então, fazemos:
Então, a reta t simétrica a reta r passa pelos pontos (3,2,2) e .
Então, sabendo dois pontos sobre a reta t, podemos achar sua equação paramétrica. Então bora lá!
Passo 3
Como a reta t passa pelos pontos (3,2,2) e , podemos parametrizá-la da seguinte forma:
Assim, quando o parâmetro s = 0, estamos sobre o ponto com coordenadas e quando s = 2, estamos sobre o ponto (3,2,2). Portanto, essa é uma equação paramétrica da reta t simétrica a reta r.