Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Encontre as coordenadas do ponto simétrico do ponto P   =   ( 1   ,   4   ,   2 ) em relação ao plano π   :   x   -   y   +   z   -   2   =   0   .

Passo 1

Beleza amigo? Yuri aqui e vamos de mais uma resolução. De acordo com a equação do plano nós obtemos diretamente o seu vetor normal, a partir dos coeficientes:

N → = 1 , - 1,1

Com ele, iremos definir a reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto P.

X   =   ( 1,4 , 2 )   + λ 1 , - 1,1

Agora, para determinarmos o ponto O, que é o ponto cujas coordenadas são a projeção ortogonal sobre o plano, basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta r   :   X   =   ( 1,4 , 2 )   + λ 1 , - 1,1 .

x = 1 + λ

y = 4 - λ

z = 2 + λ

Substituindo x , y , z em função do λ na equação do plano:

x - y + z - 2 = 0

λ + 1 - 4 - λ + λ + 2 - 2 = 0

λ = 1

Com isso, podemos descobrir os valores de x ,   y   e   z :

x = 1 + 1 = 2

y = 4 - 1 = 3

z = 2 + 1 = 3

O = 2,3 , 3

Passo 2

Como nós já sabemos o ponto O nós podemos definir o vetor O P → :

O P → = P - O

O P → = 1,4 , 2 - 2,3 , 3 = - 1,1 , - 1

Agora encontramos o ponto simétrico:

P ' = O - O P →

P ' = 2,3 , 3 - - 1,1 , - 1

P ' = 3,2 , 4

Resposta

P ' = 3,2 , 4