Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

r :   x =   m y - 1 ;   z   =   y - 1 , s :   x = y m = z , t :   − x   +   z   =   y   =   − z   −   1 ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

c) as retas r e t sejam concorrentes;

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e t sejam concorrentes (e, portanto, se encontrem em um ponto). Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma

( x , y , z ) = ( m y - 1 ,   y ,   y - 1 ) = y ( m , 1,1 ) + ( - 1,0 , - 1 )

Por outro lado, como

- x + z = - z - 1       ⇒ x = 2 z + 1

Então, os pontos (x,y,z) contidos na reta t, são da forma

( x , y , z ) = 2 z + 1 ,   - z - 1 , z   = z 2 , - 1 ,   1 + 1 ,   - 1 ,   0

Portanto, para que as retas sejam concorrentes, precisamos que as coordenadas de algum ponto contido nas retas sejam as mesmas. Então, bora lá checar essa condição!

Passo 2

Como as componentes dos vetores tem que ser iguais, temos o seguinte sistema de equações:

m y - 1 = 2 z + 1

y = - z - 1

y - 1 = z

Da primeira equação, obtemos que y = 2 m ( z + 1 ) , onde, se compararmos com a segunda equação, temos que m = -2. Substituindo o valor de y da segunda equação na terceira equação obtemos que z = -1. Assim, da segunda equação, temos que y = 0. Portanto, temos que o ponto onde as retas se encontram é o ponto (-1,0,-1), pois, com o valor de m determinado, temos que as equações das retas r e t são:

r : ( - 2 y - 1 ,   y ,   y - 1 ) = y ( - 2,1 , 1 ) + ( - 1,0 , - 1 )

s : 2 z + 1 ,   - z - 1 , z   = z 2 , - 1 ,   1 + 1 ,   - 1 ,   0

E, quando y = 0, e quando z =-1, as duas retas se encontram no ponto (-1,0,-1).

Resposta

m = - 2

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