UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 12c
Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
c) as retas r e t sejam concorrentes;
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e t sejam concorrentes (e, portanto, se encontrem em um ponto). Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma
Por outro lado, como
Então, os pontos (x,y,z) contidos na reta t, são da forma
Portanto, para que as retas sejam concorrentes, precisamos que as coordenadas de algum ponto contido nas retas sejam as mesmas. Então, bora lá checar essa condição!
Passo 2
Como as componentes dos vetores tem que ser iguais, temos o seguinte sistema de equações:
Da primeira equação, obtemos que , onde, se compararmos com a segunda equação, temos que m = -2. Substituindo o valor de y da segunda equação na terceira equação obtemos que z = -1. Assim, da segunda equação, temos que y = 0. Portanto, temos que o ponto onde as retas se encontram é o ponto (-1,0,-1), pois, com o valor de m determinado, temos que as equações das retas r e t são:
E, quando y = 0, e quando z =-1, as duas retas se encontram no ponto (-1,0,-1).