UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 11b
O plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =
(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +
λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto. Qual é este ponto?
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente mostrar que a interseção entre os 3 planos , e se reduz a um único plano. Para isso, vamos escrever a equação dos três planos na forma:[
Para os planos e , temos que as equações paramétricas foram praticamente dadas: o plano é paralelo aos vetores u e v, e, portanto, os tem como seus vetores geradores e está deslocado da origem pelo vetor (-1, -1, 0). Então, a equação paramétrica desse plano é dada por
E a equação do plano já nos foi dada de cara:
Então, agora, falta determinar a equação paramétrica de . Como esse plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), podemos escrever sua equação na forma:
Pois quando , temos o ponto C, quando temos o ponto B e, quando , temos o ponto A. Agora que já temos as equações na forma paramétrica, precisamos escrevê-las na forma da equação geral de um plano. Então bora lá!
Passo 2
Vamos começar com o plano . Dada sua equação paramétrica, , temos que todos os pontos contidos no plano são da forma
Portanto, podemos definir , e . Portanto, a equação do plano na forma geral é dada por
Para o plano temos a equação paramétrica . Portanto, todos os pontos contidos no plano são da forma
Se definirmos , , então temos que
Portanto, podemos escrever a componente z como . Então, a equação geral do plano é dada por
Por último, para o plano temos a equação paramétrica
Então, todos os pontos contidos nesse plano são da forma
Se definirmos e temos que
Então, podemos escrever a componente x como . Portanto, temos que a equação do plano é dada por
Agora, com as equações gerais dos 3 planos, podemos calcular suas interseções. Então bora lá!
Passo 3
Como o plano possui equação
Temos que a relação entre as coordenadas z e as coordenadas x e y é
Para o plano , temos que a relação entre z e (x,y) é
Então, esses dois planos possuem interseção em
Ou seja, a interseção entre esses dois planos ocorre no plano .
Então, a reta de interseção entre esses dois planos é dado pela reta contida no plano :
Então, só precisamos descobrir a interseção dessa reta com plano . Como a componente z dos pontos desse plano são da forma
Temos que o ponto de interseção entre os três planos é
Então, o ponto de interseção dos 3 pontos possui coordenadas
Resposta