Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

O plano π 1 contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano π 2 contém Q =

(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano π 3 tem equação X = (1, 1, 1) +

λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.

(b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto. Qual é este ponto?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente mostrar que a interseção entre os 3 planos π 1 , π 2 e π 3 se reduz a um único plano. Para isso, vamos escrever a equação dos três planos na forma:[

a x + b y + c z + d = 0

Para os planos π 2 e π 3 , temos que as equações paramétricas foram praticamente dadas: o plano π 2 é paralelo aos vetores u e v, e, portanto, os tem como seus vetores geradores e está deslocado da origem pelo vetor (-1, -1, 0). Então, a equação paramétrica desse plano é dada por

π 2 :   ( - 1 , - 1,0 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , 1 )

E a equação do plano π 3 já nos foi dada de cara:

π 3 :   ( 1 ,   1 ,   1 )   + λ ( − 2 ,   1 ,   0 )   +   µ ( 1 ,   0 ,   1 )

Então, agora, falta determinar a equação paramétrica de π 1 . Como esse plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), podemos escrever sua equação na forma:

π 1 :   ( 0,0 , 1 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , - 1 )

Pois quando λ = μ = 0 , temos o ponto C, quando λ = 1   e   μ = 0 temos o ponto B e, quando λ = 0   e   μ = 1 , temos o ponto A. Agora que já temos as equações na forma paramétrica, precisamos escrevê-las na forma da equação geral de um plano. Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar com o plano π 1 . Dada sua equação paramétrica, π 1 :   ( 0,0 , 1 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , - 1 ) , temos que todos os pontos contidos no plano são da forma

( x , y , z ) = ( μ , λ , 1 - λ - μ )

Portanto, podemos definir x = μ , y = λ e z = 1 - x - y . Portanto, a equação do plano na forma geral é dada por

z = 1 - x - y       ⇒       z + x + y - 1 = 0

Para o plano π 2 temos a equação paramétrica π 2 :   ( - 1 , - 1,0 ) + λ ( 0,1 , - 1 ) + μ ( 1,0 , 1 ) . Portanto, todos os pontos contidos no plano são da forma

( x , y , z ) = ( - 1 + μ ,   - 1 + λ ,   - λ + μ )

Se definirmos x = - 1 + μ , y = - 1 + λ , então temos que

x - y = - 1 + μ - ( - 1 + λ ) = - λ + μ

Portanto, podemos escrever a componente z como z = x - y . Então, a equação geral do plano π 2 é dada por

z = x - y       ⇒   x - y - z = 0

Por último, para o plano π 3 temos a equação paramétrica ( 1 ,   1 ,   1 )   + λ ( − 2 ,   1 ,   0 )   +   µ ( 1 ,   0 ,   1 )

Então, todos os pontos contidos nesse plano são da forma

( x , y , z ) = ( 1 - 2 λ + μ ,   1 + λ ,   1 + μ )

Se definirmos y = 1 + λ e z = 1 + μ temos que

- 2 y + z = - 2 - 2 λ + 1 + μ = - 1 - 2 λ + μ

Então, podemos escrever a componente x como x = - 2 y + z + 2 . Portanto, temos que a equação do plano é dada por

z - 2 y - x + 2 = 0

Agora, com as equações gerais dos 3 planos, podemos calcular suas interseções. Então bora lá!

Passo 3

Como o plano π 1 possui equação

  z + x + y - 1 = 0

Temos que a relação entre as coordenadas z e as coordenadas x e y é

  z = - x - y + 1

Para o plano π 2 :   x - y - z = 0 , temos que a relação entre z e (x,y) é

z = x - y

Então, esses dois planos possuem interseção em

- x - y + 1 = x - y       ⇒       x = 1 2

Ou seja, a interseção entre esses dois planos ocorre no plano   x = 1 2 .

Então, a reta de interseção entre esses dois planos é dado pela reta contida no plano   x = 1 2 :

z = 1 2 - y

Então, só precisamos descobrir a interseção dessa reta com plano π 3 : z - 2 y - x + 2 = 0 . Como a componente z dos pontos desse plano são da forma

z = 2 y + x - 2

Temos que o ponto de interseção entre os três planos é

1 2 - y = 2 y + 1 2 - 2       ⇒     y   = 2 3  

Então, o ponto de interseção dos 3 pontos possui coordenadas ( x , y , z ) = 1 2 ,   2 3 , - 1 6

Resposta

( x , y , z ) = 1 2 ,   2 3 , - 1 6

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