UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 8
Sendo o vetor um vetor normal ao plano que passa pelo ponto , escrever as equações paramétricas de .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto (1, 2, 2) e que possua um vetor normal com componentes (2, 1, -1). Podemos sempre escrever a equação do plano como
Onde o ponto pertence ao plano. No nosso caso, como queremos que o ponto (1, 2, 2) pertença ao plano, podemos fazer . Ou seja, podemos escrever a equação no forma
Dessa equação, vemos que o ponto (1, 2, 2) satisfaz a expressão acima e, portanto, o ponto pertence ao plano. Agora, precisamos calcular os valores das constantes a, b e c tal que o plano seja perpendicular ao vetor (2, 1, -1). Então bora lá!
Passo 2
Podemos reescrever a equação do plano como:
Ou seja, o plano é paralelo ao plano P’ com equação , com vetor normal dado pelas componentes (a,b,c), apenas deslocado de uma constante . Então, esses planos são paralelos. Logo, como queremos que todos os pontos sobre o plano P’ sejam ortogonais ao vetor (2,1,-1), temos que o produto escalar desse vetor com um vetor (x, y, z) arbitrário contido no plano deve ser nulo:
Como esse plano é paralelo ao plano que procuramos, temos que os coeficientes a, b e c são os mesmos. Então, podemos escrever a equação do plano como
Como o plano é paralelo ao plano P’ (apenas deslocado pelo vetor (1, 2, 2)) com equação , cujos vetores contidos podem ser escritos na forma
temos que a equação paramétrica do plano é