UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 12b
Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
(b) as retas r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar o valor de m de modo que as três retas r,s e t sejam paralelas à um mesmo plano. Bem, primeiramente, vamos escrever as equações vetoriais das 3 retas para determinar seus vetores diretores: Começando com r, temos que todos os pontos (x,y,z,) sobre a reta são da forma:
Então, temos que o vetor diretor da reta r é o vetor (m,1,1). Para a reta s, temos a equação vetorial:
Portanto, para a reta s, temos que o vetor diretor é (1,m,1). Finalmente, para a reta t temos:
Assim, o vetor diretor de t pode ser escrito como (2,-1,1). Agora, para que todas essas retas sejam paralelas ao mesmo plano, precisamos que todas elas sejam ortogonais ao vetor ortogonal (a,b,c) de um plano qualquer. Com isso, vamos ver quais condições a, b e c tem que satisfazer. Então, bora lá!
Passo 2
Como todos os vetores diretores das retas tem que ser ortogonais ao vetor diretor do plano, temos o seguinte sistema de equações:
Da última equação tiramos que b = 2a + c. Substituindo na segunda, obtemos
Então, temos que a e c estão relacionados através da equação:
Assim, a primeira equação se torna
Da equaç��o acima, ou c = 0 ou o termo em colchetes é nulo. Vamos considerar a segunda opção. Assim, temos a equação:
Sendo uma equação de terceiro grau, temos que há 3 soluções possíveis para a equação acima, onde m = 1 é a mais evidente. Se fizermos m =1, temos que os valores de a, b são:
Então, a equação do plano ao qual as retas são paralelas é
Como escolhemos , temos que a equação geral do plano é
Onde podemos adicionar uma constante cte qualquer, que só irá transladar o plano da origem, ma ainda será paralelo às retas.