Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Dados o ponto A   =   ( 0   ,   2   ,   1 ) e a reta r   :   X   =   ( 0 ,   2 ,   - 2 )   +   λ ( 1 ,   - 1   ,   2 ) ,   λ   ∈   R , ache os pontos da reta r que distam 3 do ponto A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 3 ? Por quê?

Passo 1

A partir da equação da reta, podemos inferir que um ponto qualquer presente nela pode ser expresso por:

P r = t , 2 - t , - 2 + 2 t

O vetor que liga A a um ponto qualquer da reta r é tal que:

A P r → = t - 0 ,   2 - t - 2 ,   - 2 + 2 t - 1

A P → r = t , - t , - 3 + 2 t

Passo 2

A distância entre o ponto A e um ponto qualquer da reta r pode ser tomada pela norma do vetor que liga esses dois pontos, ou seja:

A P → r = t 2 + - t 2 + - 3 + 2 t 2

= 6 t 2 - 12 t + 9

Passo 3

Como queremos minimizar a distancia A P → r , devemos deriva-la e iguala-la a zero, para assim encontrarmos uma minimização

d d t 6 t 2 - 12 t + 9 = 6 t - 6 6 t 2 - 12 t + 9

Igualando a zero,

6 t - 6 = 0

t = 1  

Substituindo o valor de t encontrado em P r :

P = 1,2 - 1 ,   - 2 + 2

P = 1,1 , 0

Agora nos resta saber qual é essa distancia

A P → r = 6 t 2 - 12 t + 9

= 6 - 12 + 9

= 3

Resposta

P = 1,1 , 0

A distância é igual a d = 3

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