UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 12d
Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
d) as retas r e s sejam reversas.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e s sejam reversas. ou seja, que as retas r e s não tenham interseção entre si e não sejam paralelas. Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma
Por outro lado, os pontos (x,y,z) contidos na reta s, são da forma
Portanto, para que as retas não sejam paralelas, precisamos que seus vetores diretores, independentemente do vetor deslocamento, não sejam paralelos entre si: ou seja, as componentes dos vetores que dão as direções das retas não devem ser múltiplos, com o mesmo fator. Além disso, se igualarmos as componentes x, y e z dos pontos de cada uma das curvas, não podemos ter solução para o sistema de equações, já que queremos que as retas nunca se cruzem. Então bora lá checar essas condições!
Passo 2
Como as componentes dos vetores diretores não devem ser múltiplos, da componente y, temos
Onde k é o fator multiplicativo para o paralelismo entre os vetores. Da componente z, temos que
Portanto, temos que para não serem paralelas, m deve ser diferente de 1. Assim, podemos escolher qualquer valor que não seja 1. Escolhemos 2, então. Agora, para que as retas não sejam concorrentes, vamos resolver as equações para e ver se o sistema possui solução.
Da primeira equação, temos que y é igual à . Então, da segunda equação temos que t também deve ser igual à . No entanto, quando substituímos o valor de y na última equação, obtemos que . Portanto, temos que o sistema de equações não possui solução e, portanto, não existe um ponto onde as retas se encontram, como gostaríamos. Então, temos que as retas dadas por
São reversas, pois não são paralelas mas nunca se encontram.