(a) Faça um esboço da representação geométrica dos planos cujas equações gerais são dadas por:

(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão define 5 planos e nos pede para fazer um esboço de cada superfície. Primeiro, comecemos com o caso (i), onde o plano é definido pela equação

x = 2

Esse caso é bastante simples: a coordenada x de todos os pontos desse plano é igual à 2, enquanto y e z varia livremente. Então, esse plano é um plano paralelo ao plano yz, mas com coordenada x =2.

O plano (ii) é dado pela equação

y   +   1   =   0

Podemos reescrever essa equação como y = -1. O caso é parecido com o anterior, só que dessa vez é a coordenada y de todos os pontos do plano que é igual à -1, enquanto x e z varia livremente. Então, esse plano é um plano paralelo ao plano xz, mas com coordenada y = -1.

Para o terceiro caso temos a equação:

z + 4 = 0

Podemos reescrever a equação como z = - 4. Mais uma vez temos o caso de um plano no qual as coordenadas z de todos os pontos do plano que é igual à -4, enquanto x e y varia livremente. Então, esse plano é um plano paralelo ao plano xy, mas com coordenada y = -4.

Agora, vamos dar uma olhada nos dois últimos casos que tem equações um pouco mais elaboradas. Então vamos lá!

Passo 2

A equação do quarto plano é dada por

x   −   z   =   0 ;

A equação acima só depende das variáveis x e z. Então, a gente já espera que, variando as coordenadas y, a nossa função não varia. Além disso, essa equação, é a equação de uma reta no plano xz com equação

z = x

Ou se,a. se olharmos planos xz, ao longo da direção y, teremos uma reta com inclinação igual à 1. A figura abaixo ilustra o plano.

O quinto e último caso possui equação

2 x   +   3 y   +   4 z   −   12   =   0

A equação acima possui um termo de deslocamento igual a 12, mas o plano dado por essa equação é paralelo ao plano com equação

2 x   +   3 y   +   4 z   =   0 .

Se olharmos esse plano pelo eixo x, fazendo valores constantes, observamos funções do tipo

3 y   +   4 z   −   12 + 2 x 0 =   0

Essa equação representa uma reta decrescente entre z e y com inclinação

z = - 3 4 y + c t e

Se olharmos o plano pelo eixo y, fazendo valores constantes, observamos equações do tipo

2 x   +   3 y 0   +   4 z   −   12   =   0

Essa equação representa uma reta decrescente entre z e x com inclinação

z = - 1 2 x +   c t e

Por fim, olhando o plano pelo eixo z, fazendo valores constantes, observamos no plano xy equações do tipo

2 x + 3 y + 4 z 0 - 12 = 0

Essa equação também é uma reta decrescente entre x e y com inclinação

y = - 2 3 x + c t e

Portanto, temos que o esboço do plano é da forma a seguir:

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica