UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 14
Encontre a projeção tomada paralelamente à reta dada por r : (x , y , z) = (0 , 0 , 0) +
λ(1 , 4 , 1), λ ∈ R, do ponto P = (1 , 4 , 0) sobre o plano dado por π : x + y − 2 z + 1 = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente encontrar a projeção tomada paralelamente à reta r do ponto P sobre o plano . Portanto, precisamos primeiramente projetar o ponto P sobre o plano e em seguida projetar esse resultado ao longo da reta r. Como o plano possui equação dada por
Temos que ele é paralelo ao plano com equação , visto que seus pontos só estão todos deslocados por um fator +1. Então, o vetor ortogonal aos dois planos é o mesmo, que vem a ser o vetor com componentes:
Como o módulo desse vetor é , podemos normalizar esse vetor, fazendo
Então, para calcularmos a projeção do ponto P no plano , precisamos primeiro projetar o vetor v que liga a origem ao ponto P no vetor ortogonal . Fazendo isso, obtemos:
Então, a projeção do ponto P no plano é simplesmente a subtração do vetor v pela projeção de v perpendicular ao plano, ou seja:
Então, essa é a projeção do ponto P sobre o plano . Agora, só precisamos projetar este vetor ao longo da reta r. Então vamos lá!
Passo 2
Como a reta r é dada pela equação r : (x , y , z) = (0 , 0 , 0) + λ(1 , 4 , 1), vemos que o seu vetor diretor w é o vetor com coordenadas
O módulo desse vetor é dadO por . Então, podemos normalizar o vetor diretor da reta fazendo
Assim, temos que a projeção de ao longo da reta é dada pelo produto escalar deste vetor por w:
Então, a projeção de ao longo da reta é simplesmente o valor acima vezes o vetor diretor da reta