Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações r : X = (0, 0, 0)Σ + λ(1, 2, 4) ,

λ ∈ R, e s : X = (1, 0, −2) + λ(1, 1, 1) , λ ∈ R. As trajetórias são concorrentes? Haverá colisão?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinar se duas retas r e s descritas por equações paramétricas são concorrentes. Para isso, vamos relembrar o que são retas concorrentes: duas retas são ditas concorrentes quando se encontram em um único ponto.

Então, precisamos verificar se existe algum ponto que pertença às duas retas. Para isso vamos dar uma olhada na forma dos pontos que pertencem às retas: todos os pontos contidos em r podem ser escritos como

( x , y , z ) = ( 0,0 , 0 ) + λ ( 1,2 , 4 ) = ( λ , 2 λ , 4 λ )

Os pontos da reta s, por outro lado, podem ser escritos como

( x , y , z ) = ( 1,0 , - 2 ) + λ ( 1.1 . 1 ) = ( λ + 1 ,   λ ,   λ - 2 )

Então, para descobrir se as trajetórias são concorrentes e se há colisão entre os pontos, precisamos ver ser existe algum λ tal que as componentes das duas retas se igualam. Então vamos lá!

Passo 2

Chamando de λ o parâmetro da reta r e de t o parâmetro da reta s e igualando as componentes das retas r e s, obtemos as equações:

λ = t + 1

2 λ = t

4 λ = t - 2

Da primeira equação obtemos que t = λ - 1 . Substituindo esse resultado na segunda equação, temos

2 λ =   λ - 1     ⇒   λ = - 1

A terceira equação, como esperado, não nos fornece nenhuma informação nova, já que possuímos duas variáveis e três equações. No entanto, ela nos confirma que o sistema possui solução, pois

4 λ = λ - 1 - 2   ⇒   3 λ = - 3   ⇒ λ = - 1

Portanto, temos que as retas se encontram quando λ = - 1 e t = -2, no ponto (-1,-2,-4). Como os parâmetros das retas variam entre os números reais, temos que as retas são concorrentes e, portanto, há colisão entre as trajetórias,

Resposta

As trajetórias são concorrentes e há colisão em (-1,-2,-4).

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