Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Obtenha equações da reta r que contém o ponto P   =   ( 1 ,   1 ,   1 ) e é concorrente à reta s   :   x   = 2 y   =   2 z , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a 1 3 .

Passo 1

Seja ( a , b , c ) o vetor diretor r → da reta r que queremos. Precisamos achar esse vetor para que possarmos encontrar nossa reta. O vetor diretor da reta s → , de acordo com a equação é ( 1 , 1 2 , 1 2 ) . Como o cosseno entre as duas retas é 1 3 , temos então:

1 3 = 1 , 1 2 , 1 2 a , b , c 1 , 1 2 , 1 2 a , b , c

1 3 = a + b 2 + c 2 1 + 1 4 + 1 4 a 2 + b 2 + c 2

6 2 ∙ 1 3 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2

2 2 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2   ( i )

Passo 2

O enunciado diz que as duas retas são concorrentes, então, dado A = 0,0 , 0 portanto de s, P = 1,1 , 1 ponto de r, o determinante da tripla A P → ,   r → ,   s → deve ser 0. Então sabemos que

A P → = P - A = 1,1 , 1

Calculando o determinante:

1 1 1 a b c 1 1 2 1 2 = 0

Temos então:

- b + c 2 = 0

- b + c = 0     i i

Passo 3

Substituindo ( i i ) em ( i ) , temos:

2 2 = a + b a 2 + 2 b 2

1 2 = a 2 + a b + b 2 a 2 + 2 b 2

2 a 2 + 2 a b + 2 b 2 = a 2 + 2 b 2

a 2 + 2 a b = 0

a 2 = - 2 a b

a = - 2 b

e

a = - 2 c

Pois b = c

Passo 4

Como então o que temos é a = - 2 b = - 2 c e a , b , c ≠ 0 :

a , b ,   c = - 2 c , c , c = c ( - 2,1 , 1 )

Ou seja, nosso vetor diretor é ( - 2,1 , 1 )

E com isso poderemos ter nossa reta r

X = 1,1 , 1 + λ ( - 2,1 , 1 )

Resposta

r : X = 1,1 , 1 + λ ( - 2,1 , 1 )

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