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Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 30a

(a) Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de A = (2, 1, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (0, 2, 1) é uma reta obtendo uma equação vetorial para ela.

Passo 1

Yuri aqui meu amigo, e agora iremos encontrar um ponto equidistante de A, B e C. Para isso, temos que

A X 2 = B X 2 = C X 2

Então,

A X → = X - A = x - 2 ,   y - 1 , z - 1

= x - 2 2 + y - 1 2 + z - 1 2

B X → = X - B = x + 1 ,   y ,   z - 1

= x + 1 2 + y 2 + z - 1 2

C X → = X - C = x , y - 2 , z - 1

= x 2 + y - 2 2 + z - 1 2

Passo 2

Desenvolvendo e igualando as expressões

A X → = x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 2 z + 6

B X → = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 z + 2

C X → = x 2 + y 2 + z 2 - 4 y - 2 z + 5

Igualando A X → = B X →

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 2 z + 6 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 z + 2

- 4 x - 2 y + 6 = 2 x + 2

Igualando B X → = C X →

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 z + 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 y - 2 z + 5

2 x + 2 = - 4 y + 5

Temos então um sistema para resolvermos

- 4 x - 2 y = 2 x + 2 2 x + 2 = - 4 y + 5

6 x + 2 y = 4 2 x + 4 y = 3

Passo 3

Resolvendo o sistema temos

- 12 x - 4 y + 2 x + 4 y = 8 + 3

- 10 x = - 5

x = 1 2

6 ∙ 1 2 + 2 y = 4

y = 1 2

Todas as soluções são do tipo

X = 1 2 , 1 2 , λ

Então podemos escrever

X = 1 2 , 1 2 , 0 + λ 0,0 , 1

Que é uma reta!

Resposta

X = 1 2 , 1 2 , 0 + λ 0,0 , 1